方程的意义（提高）知识讲解[002].docVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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方程的意义（提高）知识讲解

撰稿：吴婷婷审稿：常春芳

【学习目标】

1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；

2.正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；

3.理解并掌握等式的基本性质.

【要点梳理】

【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】

要点一、方程的有关概念

1．定义：含有未知数的等式叫做方程.

要点诠释：

判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．

2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解，一元方程的解也可叫做方程的根.

要点诠释：

判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①它（或它们）是方程中未知数的值；

②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它（或它们）是方程的解，否则不是．

3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.

4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.

【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】

要点二、一元一次方程的有关概念

定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.

要点诠释：

（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：

①是一个方程；②必须只含有一个未知数；③含有未知数的项的最高次数是1；④分母中不含有未知数．

（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是常数).

（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是常数）.

【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】

要点三、等式的性质

1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.

2．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式，即：如果，那么

等式的性质2：等式的两边都乘同或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，即：如果，那么；.

等式的性质3：如果，那么.（对称性）

等式的性质4：如果，，那么.（传递性）

要点诠释：

（1）根据等式的性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；

（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立；

（3）等式的性质4中一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．

3.移项：在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边.这种变形过程叫做移项.

要点诠释：

移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项.

【典型例题】

类型一、方程的概念

1．下列各式，哪些是等式？哪些是方程？

①3a+4；②x+2y＝8；③5-3＝2；④；⑤y＝10；⑥；⑦3y2+y＝0；⑧2a2-3a2；⑨3a＜-2a．

【答案与解析】

解：等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦．

【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数．

2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是()．

A．2x-1＝3(2，-1)B．(3，-3)

C.(x-1)(x-2)＝0(1,2)D．2(y-2)-1＝5(5，4)

【答案】C.

【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．

【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．

举一反三：

【变式】若是关于的方程的解，则的值为__________.

【答案】-1．

类型二、一元一次方程的相关概念

3．已知下列方程：①；②x＝0；③；④x+y＝0；⑤；⑥0.2x＝4；⑦2x+1-3＝2(x-1)．其中一元一次方程的个数是()．

A．2B．3C．4D．5

【答案】B

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