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三角函数-任意角与弧度制

知识点

1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。

2.角的分类为了区别起见，我们规定:

（1）正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角；

（2）负角：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角；

（3）零角：如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。

注意：（1）角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角

在不引起混淆的情况下，“角”或“∠”可以简化成“”。

3.终边相同的角的表示方法：与终边相同的角构成一个集合：

注:（1）；

（2）是任意角；

（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍。

4.象限角：在直角坐标系内,角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

非象限角：终边落在轴或轴上的夹角。

5.弧度与角度的互化

（1）弧度制的定义

比较两个同心圆，我们发现同一个圆心角所对应的弧长与半径对应成比例。

或者说同一个圆中弧长与半径之比是不变的。

因此我们有如下定义：

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)

（2）.弧度角的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

弧度单位：rad。（此单位写不写都可以）

（3）.弧长公式：

（4）.角度与弧度的换算；。

1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝(eq\f(180,π))°

特殊角的度数与弧度制对应表：

（5）.弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，又l＝rα，则扇形的面积为S＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)|α|·r2

题型一终边相同的角的表示

【例1】写出与角终边相同的角的集合，并求在范围内与角终边相同的角

【例2】写出终边落在如图所示直线上的角的集合．

【例3】如图分别是终边落在OA,OB位置上的两个角.且.

(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的所有角的集合;

(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角θ.且的所有角的集合.

【过关练习】

1.下列各对角中终边相同的角是（）。

A和 B和

C和 D和

2.已知角的终边经过点，则与终边相同的角的集合是 .

A. B.

C. D.

3.与终边相同的最小正角为________，与终边相同的最小正角是________。

4.在，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限：

（1）；（2）。

5.若与的终边互为反向延长线，则有（）

AB

CD

6.如果角与角具有同一条终边，角与角具有同一条终边，那么与的关系是什么？

7.已知角的终边在如图所示的阴影部分内(包括边界),试指出角的取值范围.

题型二象限角的判定

【例1】⑴在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①；②；③.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合，

写出中满足不等式的元素：

①；②；③.

【例2】若是第四象限角，则是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角

【例3】若角是第二象限角，确定，是第几象限角。

【过关练习】

1.下列说法正确的有几个（）

（1）锐角是第一象限的角；（2）第一象限的角都是锐角；

（3）小于的角是锐角；（4）的角是锐角。

A1个B2个C3个D4个

2.已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在轴的正半轴上，则角是第（）象限角。

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角

3.若是第一象限角，则是（）

A.第一象限角B.第四象限角C.第二或第三象限角D..第二或第四象限角

4.将下列各角表示为的形式，并判断角在第几象限。

（1）；（2）。

题型三角度制与弧度制的互换

【例1】（1）把化成弧度制；（2）把化成角度制。

【例2】将下列各角化为的形式，并判断其所在象限.

(1)；(2)-315°；(3)-1485°.

【例3】用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)