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物理竞赛微积分初步(求导积分)2024-01-25

Contents目录微积分基本概念与性质一元函数微分学一元函数积分学多元函数微分学多元函数积分学微积分在物理竞赛中应用举例

微积分基本概念与性质01

微分定义微分是函数在某一点处的局部变化率，即函数值的微小改变量与自变量微小改变量的比值。导数定义导数是函数在某一点处的切线斜率，表示函数值随自变量变化而变化的速率。微分与导数关系微分是导数的基础，导数是微分的商，即函数在某一点处的微分与自变量的微分之商等于该点的导数。微分与导数定义

03定积分与不定积分定积分是求函数在指定区间上的面积，而不定积分则是求函数的原函数或反导数。01积分定义积分是求一个函数在某个区间上与自变量轴所围成的面积的过程。02积分性质积分具有线性性、可加性和区间可加性。积分定义及性质

微分和积分是互逆的运算，即对一个函数先微分再积分（或先积分再微分）可以得到原函数（或原函数的常数项差异）。微分与积分的互逆性微分可用于求解速度、加速度等物理量，而积分可用于求解位移、面积等物理量。微分与积分在物理中的应用微分与积分关系

参数方程的求导法则通过参数方程中各个变量之间的关系来求解导数。隐函数的求导法则通过对方程两边同时求导来求解隐函数的导数。复合函数的求导法则根据链式法则，对复合函数进行求导。基本初等函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的基本导数公式。导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法的求导法则。常用函数求导法则

一元函数微分学02

掌握常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数的导数公式。基本初等函数的导数公式掌握函数的和、差、积、商的求导法则。导数的四则运算法则理解复合函数的概念，掌握复合函数的求导方法。复合函数的求导法则导数运算规则

高阶导数计算高阶导数的定义理解高阶导数的概念，掌握高阶导数的计算方法。莱布尼兹公式掌握莱布尼兹公式，能够运用该公式计算高阶导数。

理解隐函数的概念，掌握隐函数的求导方法，如直接求导法、对数求导法等。理解参数方程的概念，掌握参数方程的求导方法，如直接求导法、消元法等。隐函数及参数方程求导参数方程的求导方法隐函数的求导方法

洛必达法则掌握洛必达法则的条件和结论，能够运用该法则求解未定式的极限问题。泰勒公式理解泰勒公式的条件和结论，掌握其证明方法和应用，能够运用泰勒公式进行近似计算和误差估计。微分中值定理理解微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理）的条件和结论，掌握其证明方法和应用。微分中值定理及应用

一元函数积分学03

直接积分法对于基本初等函数，可以直接套用基本积分公式进行计算。换元积分法通过变量代换，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分进行计算。分部积分法将不定积分拆分为两个函数的乘积，然后利用乘积的求导法则进行求解。不定积分计算方法

定积分的定义定积分是求一个函数在一个区间上与x轴围成的面积。定积分的性质包括可加性、保号性、绝对值不等式、估值定理等。微积分基本定理建立了定积分与不定积分之间的联系，使得定积分的计算变得简单。定积分概念与性质

定积分的换元法与不定积分的换元法类似，通过变量代换简化定积分的计算。定积分的分部积分法将定积分拆分为两个函数的乘积，然后利用乘积的求导法则进行求解。定积分换元法和分部积分法

广义积分的定义广义积分是对定积分的扩展，允许函数在无穷区间或具有瑕点的区间上进行积分。广义积分的计算对于收敛的广义积分，可以采用与定积分类似的方法进行计算。广义积分的收敛性对于广义积分，需要判断其是否收敛，即极限是否存在。广义积分简介

多元函数微分学04

多元函数的定义设$D$为一个非空的$n$元有序数组的集合，$f$为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组$(x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$元函数。多元函数的性质包括有界性、单调性、周期性、连续性等。多元函数概念及性质

偏导数的定义设函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y0$而$x$在$x0$处有增量$Deltax$时，相应地函数有增量$Deltaz=f(x0+Deltax,y0)-f(x0,y0)$。如果$Deltaz$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时的极限存在，那么此极限值称为函数$z=f(x,y)$在点$(x0,y0)$处对$x$的偏导数。要点一要点二偏导数的计算可以通过求导法则和链式法则来计算偏导数。偏导数计算

全微分的定义如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全增量$Deltaz=f(x+Deltax,y+Deltay)-f(x,y)$可以表示为$Deltaz=