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几类递推数列通项公式的常见类型及解法
几类递推数列通项公式的常见类型及解法
几类递推数列通项公式的常见类型及解法
递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.
一、an1and型（d为常数）
形如an1anf(n)的递推数列求通项公式，将此类数列变形得an1and，再由等差数列的通项公式ana1n1d可求得an.
例1已知数列an中a12,an1an3nN，求an的通项公式.
解：∵an1an3∴an1an3
∴an是以a12为首项，3为公差的等差数列.∴an2n133n1为所求的通项公式.
二、an1anf(n)型
形如an1anf(n)的递推数列求通项公式，可用差分法.例2已知数列an中满意a1=1，an1ann，求an的通项公式.解：作差an1ann，则
a2-a1=-1，a3-a2=-2，a4-a3=-3，，anan1(n1)，
将上面n-1个等式相加得ana1(1)(2)(3)+[(n1)]
n2n2
∴an=为所求的通项公式.
2
三、an1qan型
形如an1qan的递推数列求通项公式，将此类数列变形得
an1
q，再由等比数列的通项公式ana1qn1可求得an.an
例3已知数列an中满意a1=1，an12an，求an的通项公式.解：∵an12an∴
an1
2an
∴an是以a11为首项，2为公比的等比数列.
几类递推数列通项公式的常见类型及解法
an2n1为所求的通项公式.
四、an1f(n)an型
形如an1f(n)an的递推数列求通项公式，可用累乘法.
例4已知数列an中满意a1=1，an12nan，求an的通项公式.解：∵an12an∴
n
an1
2n.an
∴
anan1an2an3aa32an1an2an3an2a2a1
n1
=22
n2
2
n3
22=2
2
n(n1)
2
n(n1)
an
∴22
a1
n(n1)2
∴an2
为所求的通项公式.
五、an1cand型（c，d为常数）
形如an1cand的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.
例5已知an中a13且an2an11求此数列的，通项公式.
解：ant2(an1t)，则an2an1t.与an2an11进展比拟，可得t=1，则
有an12an11.
设bnan1，则有bn2bn1.
∴bn是以b1a112为首项，2为公比的等比数列
∴bn22n1，∴anbn122n112n1
六、an1kanf(n)型（k为常数）
形如an1kanf(n)的递推数列求通项公式，可对已知递推式适当变形，通过累加
或累积求得通项.
例6已知数列an中，a1=解：将原递推式化作：3
n1
222
，anan1n1（n≥2），求an.933
an23nan12，则3nan123n1an22
几类递推数列通项公式的常
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