高中数学球与各种几何体切、接问题专题(一)) .pdf

高中数学球与各种几何体切、接问题专题（一））

球与各种几何体切、接问题

近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见。

首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这

个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。

定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外

切多面体，这个球是这个多面体的内切球.

一、球与柱体的切接

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切

两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面

积等相关问题.

1、球与正方体

（1）正方体的内切球，如图1.位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方

体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有2ra=.

（2）正方体的棱切球，如图2.位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中

心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有22ra=

.

2

（3）正方体的外接球，如图3.位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方

体中心与球心重合；

数据关系：设正方体的棱长为a，球的半径为r，这时有23ra=

.

图3

例1棱长为1的正方体1111ABCDABCD-的8个顶点都在球O的表面上，EF，

分别是棱

1AA，1DD的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（）

A．

22

B．1

C．212

+

D．2

思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AADD截面所得圆面的半径

12,22

ADR==得知直线EF被球O截得的线段就是球的截面圆的直径.

2、球与长方体

例2自半径为R的球面上一点M，引球的三条两两垂直的弦MCMBMA,,，求

222MCMBMA++的值．

结论：长方体的外接球直径是长方体的对角线．

例3（全国卷I高考题）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，

则这个球的表面积为（）.

A.16π

B.20π

C.24π

D.32π

思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边

长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好

为球的直径.

3、球与正棱柱

（1）结论1：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．

（2）结论2：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．

二、球与锥体的切接

规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以

外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体

的体积或者表面积等相关问题.

1、正四面体与球的切接问题

（1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正

四面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有

6

4

3

Rha

==；

例4正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为______．

【解析】如图正四面体A－BCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O

到

正四面体各面的距离．∵AB＝a,∴正四面体的高h＝

6

3a，又VA－BCD＝4VO－BCD，（）∴R＝

1

4h

＝

612

a.（2）正四面体的外接球，位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四

面体的中心与球心重合；

数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R