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三角形相似的判定方法

三角形相似的判定方法

一1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的

三角

形与原三角形相似．

3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么

这两

个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并

且夹

角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相

似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那

么这

两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．特殊、判定直角三角

形相似的方法：

(1)以上各种判定均适用．

(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角

边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：

射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一

条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，

Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD=BD·DC，AB=BD·

BC，AC=CD·BC。

2

2

2

二相似三角形常见的图形

三、1

，下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

B

C

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）

(2)

B

(3)

(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A

共

A

角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）

A

4DC

D

EA

D

E

1

E

（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称

“射影定

理型”）”

A

DE

B

(D)

B(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。

2、几种基本图形的具体应用：

（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC

（2）射影定理若

CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）

222

则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；

B

C

（3）满足1、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定

△ADC∽△ACB．

2

（4）当

ADAE

或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．

AC例题展示:

例1判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？

总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.(1)两个直角

三角形，两个等腰三角形不一定相似.(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.

(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.练

习:下列能够相似的一组三角形为()

A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形例2．如图所示，

已知

中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交

于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

练习．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，