傅立叶变换及幅值谱.pdfVIP

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离散傅里叶变换

一个时域信号x(t)的无限傅里叶变换定义为

X(f)x(t)exp(j2ft)dt

这里用频率f作为傅里叶变换的自变量。由于一个时域信号

存在傅里叶变换是有条件的理论上,上述无限傅里叶变换(在

无限区间积分)可能不存在,例如,当x(t)为无限长平稳随机过

程时,情况就是如此。在实际进行信号分析时,信号样本长

度总是有限的,设信号样本长度为T,则可计算有限傅里叶

变换

T

X(f)x(t)exp(j2ft)dt

0

窗函数的问题后面介绍

T

X(f)x(t)exp(j2ft)dt

0

信号x(t)经数据采集后,变成离散化数据x(nt),t为采样

ss

时间间隔,如在时间T内采集N个数据,则有,n=0,1,

2,…,(N-1),简记为x(n)。

对离散数据,积分运算转化为求和,其结果将是离散频

率的序列

X(fk)X(kf)

离散频率f可表示为

k

kk有近似

fkkf

TNt

s

于是,有限连续傅里叶变换式可改写成离散形式

N1nk

X(kf)x(nt)exp(j2)t

n0sNs

常用的离散傅里叶变换采用归一化形式(设ts=1)

X(kf)N1nk

X(k)x(n)exp(j2)

tsn0N

对于有限连续傅里叶逆变换同样可以导出归一化的离散形式

fmax

x(t)X(f)exp(j2ft)dtx(t)0X(f)exp(j2ft)df



N1

x(nt)X(kf)exp(j2kfnt)f

k0

11X(kf)

fX(k)

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