一元二次方程根的分布.docVIP

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若=与轴有交点()=0

若=()与=()有交点(，)=有解。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程（）的两个实根为，，且。

【定理1】，(两个正根)，

推论：，或

上述推论结合二次函数图象不难得到。

若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。

分析：依题意有01。

【定理2】，，

推论：，或

【定理2】。

【定理3】。

推论1。

推论2。

【定理4】有且仅有（或）

【定理5】或

此定理可直接由定理4推出，请读者自证。

【定理6】或

三、例题与练习

已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。（）

（2）若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。（）

（3）若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。（）

已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。（）

（2）已知方程有一实根在0和1之间，求的取值范围。（）

（3）已知方程的较大实根在0和1之间，求实数的取值范围。变式：改为较小实根（不可能；）

（4）若方程的两实根均在区间（、1）内，求的取值范围。（）

（5）若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。（）

（6）已知关于的方程的两根为且满足，求的取值范围。（或）

已知关于x的二次方程x2+2mx+2m

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.

(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.

技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.

解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，

∴.

(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组

(这里0－m1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)

若方程有两个不相同的实根，求的取值范围。

提示：令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根。答案：01

若关于的方程有唯一的实根，求实数的取值范围。

提示：原方程等价于即

O－20－6令=+12+6+3

O

－20

－6

若抛物线=与轴相切，有△=144－4(6+3)=0即=。

将=代入式②有=－6不满足式①，∴≠。

若抛物线=与轴相交，注意到其对称轴为=－6，故交点的横坐标有且仅有一个满足式①的充要条件是

解得。

∴当时原方程有唯一解。

O－20－61633另法：原方程等价于+20=8－6－3(－20或0)……③

O

－20

－6

163

3

问题转化为：求实数的取值范围，使直线=8－6－3与抛物线=+20(－20或0)有且只有一个公共点。

虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将③变形为+12+3=－6(－20或0)，再在同一坐标系中分别也作出抛物线=+12+3和直线=－6，如图，显然当3－6≤163即时直线=－6与抛物线有且

3.二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

A、B、C、D、

答案:C

4．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.

（1）如果，设函数的对称轴为，求证：；

（2）如果，，求的取值范围.

解析：设，则的二根为和。

（1）由及，可得，即，

即

两式相加得，所以，；

（2）由,可得。

又，所以同号

∴，等价于

或,

即或

解之得或。

点评：条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化

5.（2009江苏卷）(本小题满分16分)

设为实数，函数.

(1)若，求的取值范围；

(2)求的最小值；

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元