赵树嫄-《微积分(第四版)》导数与微分.pptxVIP

赵树嫄-《微积分(第四版)》导数与微分2024-01-26REPORTING2023WORKSUMMARY

目录CATALOGUE导数与微分基本概念导数计算法则与方法微分计算法则与方法导数与微分在实际问题中应用典型例题解析与讨论复习总结与拓展延伸

PART01导数与微分基本概念

VS设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处有增量$Deltax$，$(x_0+Deltax)$也在该邻域内时，相应地函数取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$与$Deltax$之比当$Deltaxto0$时极限存在，则称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数。几何意义函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数$f(x_0)$的几何意义表示函数曲线在点$P_0(x_0,f(x_0))$处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。导数定义导数定义及几何意义

设函数$y=f(x)$在某区间内有定义，$x_0$及$x_0+Deltax$在这区间内，如果函数的增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$可表示为$Deltay=ADeltax+o(Deltax)$（其中A是不依赖于$Deltax$的常数），而$o(Deltax)$是比$Deltax$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_0$是可微的，且ADeltax称作函数在点$x_0$相应于自变量增量$Deltax$的微分，记作$dy$，即$dy=ADeltax$。微分的几何意义就是函数图像在某点处的切线的纵坐标的增量。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分定义几何意义微分定义及几何意义

如果函数在某点可导，那么它在该点也一定可微；反之，如果函数在某点可微，那么它在该点也一定可导。因此，可导与可微是等价的。可导与可微的等价关系如果一个函数的导数在某点存在且等于零，那么该函数在该点的微分也为零；反之，如果函数在某点的微分为零，那么该函数在该点的导数也存在且等于零。因此，可导与可微具有互逆关系。可导与可微的互逆关系可导与可微关系

PART02导数计算法则与方法

指数函数的导数对于形如f(x)=a^x（a0，a≠1）的指数函数，其导数为f(x)=a^x*lna。常数的导数对于任意常数C，其导数为0。幂函数的导数对于形如f(x)=x^n的幂函数，其导数为f(x)=nx^(n-1)。对数函数的导数对于形如f(x)=loga(x)（a0，a≠1）的对数函数，其导数为f(x)=1/(x*lna)。三角函数的导数如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，它们的导数可以通过相应的公式求得。基本初等函数导数公式

四则运算求导法则加法/减法法则(u±v)=u±v，即和的导数等于各部分的导数之和。乘法法则(uv)=uv+uv，即积的导数等于一个函数乘以另一个函数的导数，再加上另一个函数乘以这个函数的导数。除法法则(u/v)=(uv-uv)/v^2，即商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。

如果y是u的函数，u是x的函数，即y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f[g(x)]的导数为dy/dx=(dy/du)*(du/dx)，即外函数的导数乘以内函数的导数。如果y=f(x)的反函数为x=g(y)，且f(x)存在且不为0，则反函数的导数为dx/dy=1/(dy/dx)。复合函数求导法则反函数的导数链式法则

PART03微分计算法则与方法

常数函数$dc=0$幂函数$dx^n=nx^{n-1}dx$指数函数$de^x=e^xdx$对数函数$dlnx=frac{1}{x}dx$三角函数$dsinx=cosxdx,quaddcosx=-sinxdx$反三角函数$darcsinx=frac{1}{sqrt{1-x^2}}dx,quaddarccosx=-frac{1}{sqrt{1-x^2}}dx$基本初等函数微分公式

加法减法乘法除法四则运算求微分法则$d(u+v)=du+dv$$d(uv)=udv+vdu$$d(u-v)=du-dv$$dleft(frac{u}{v}right)=