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第十章 向量与空间解析几何
本章提要
基本概念
空间直角坐标系,向量,向量的模,单位向量,自由向量,向径,向量的坐标与分解,向量的方向余弦,向量的点积与叉积,平面的点法式与一般式方程,直线的点向式及一般式方程,球面,柱面,旋转面,二次曲面。
基本公式
两点间距离公式,向量模与方向余弦公式,点积与叉积坐标公式,点到平面的距离公式,平面与直线间的夹角公式。
第一节空间直角坐标系与向量的概念(一)
一、填空题
1、点M(x,y,z)关于y轴对称点坐标是 。
2、既有大小,又有方向的量称为 。
3、向量的大小称为向量的 。
4、模为1的向量称为 。
5、零向量的方向为 。
? ?0
6、设a是一个非零向量,则与其同向的单位向量a=
? ?
7、称?a为a的
8、向量的加法运算及数与向量的乘法运算统称为向量的 。
9、确定右手直角坐标系的方法形象称为
10、在空间直角坐标系中,x轴与y轴所确定的坐标面称为 坐标面
二、判断题
1、向量是只有大小,没有方向的量。 ( )
? ? ? ?
2、如果向量a与b的大小相等,则称向量a与b相等。( )
3、温度是向量,速度是数量。 ( )
三、计算题
1、在空间直角坐标系中,描述出下列各点,并指出它们的位置特征:
A(0,2,?1),B(1,0,3),C(0,1,0),D(3,3,3)
2、在空间直角坐标系中,指出点P1(1,?1,?1),P2(1,?2,2)所在的卦限
? ?? ??
? ??
??? ? ?
3、设u?a?b?2c,v??a?3b?c,试用a,b,c表示2u?3v
第一节空间直角坐标系与向量的概念(二)
一、填空题
1、在空间中有一点M
?
(1,1,1),则向径OM=
2、空间直角坐标系中,在坐标轴上分别与x轴,y轴,z轴方向相同的单位向量
称为 。
3、在空间直角坐标系中有M1(1,0,?1),M2(2,3,?1)
?
两点,则M1M2=
4、r则r?o???1,1,1?, ?
4、r
则r
?
o
5、在空间中,点A(1,?1,?3)与点B(?5,6,3)之间的距离d是
? ???? ??? ?? ??
6、a?i?j?k,b?i?j?k,则a?b? ;a?b?
二、判断题
? ???
1、r?i?j?k是单位向量。 ( )
2、???111?
333a ?,,
3
3
3
?
?的模是1。 ( )
?
? ? ??
3、若a,b均为单位向量,则a?b必是单位向量。 ( )
? ?
4、若?
? ? ?
2 2 2
a a1i?a2
j?a3k,则a
?a1
?a2?a3 ( )
三、计算题
?? ?? ??
1、已知点M1(1,0,?1),M2(?1,2,1),试求向量M1M2,M2M1,OM1的坐标表示。
? ????
? ? ?
?0?0
2、分别求出向量a?i?j?k,b?2i?3j?5k的模,并分别用单位向量a,b表
??
达向量a,b
3、求平行于a的单位向量。
3、求平行于a
的单位向量。
? ? ??? ?? ?
4、已知:a?mi?5j?k,b?3i?j?nk平行,求m,n。
a5、已知:向量???3,?1,2?,它的起点为(1,0,?5),求它的终点。
a
第二节向量的点积与叉积(一)
一、填空题
? ? ?? ? ?
1、设向量a与b之间夹角为θ(0?θ?π),则称abcosθ为a与b
的 ,并用记号 表示。
? ???? ??? ??
2、a?2i?j?k,b?i?j?k,则a?b=
? ?
3、向量a与b正交的充要条件是 或
?? ??
4、a?b?abcosθ
(0?θ?π),则cosθ?
二、判断题
?? ??
1、a?b??b?a ( )
?? ?? ??
2、i?j?j?k?k?i?1 ( )
? ?? ????
3、a?(b?c)?a?b?a?
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