第23讲 圆内接四边形（教师版）-新九年级数学暑假讲义（浙教版）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

第23讲圆内接四边形

一、圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.

二、圆内接四边形性质定理

圆内接四边形的对角互补.

圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．

例1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°，则∠BCD的度数是_______．

【答案】120°

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补解答即可．

解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠BCD+∠DAB=180°，又∠DAB=60°，

∴∠BCD=120°，

故答案为120°．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

例2．如图：四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A=n°，则∠DCE=_____°．

【答案】n

【解析】

【分析】

利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．

∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴∠A+∠DCB=180°，

又∵∠DCE+∠DCB=180°

∴∠DCE=∠A=n°

故答案为n

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质．解决本题的关键是掌握：圆内接四边形的对角互补．

例3．如图，在圆内接四边形ABCD中，、、的度数之比为，则________．

【答案】100

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=∠A+∠C=180°，再根据∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7分别计算出∠A、∠B、∠C的度数，进而可得∠D的度数．

解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠B+∠D=∠A+∠C=180°，

∵∠A、∠B、∠C的度数之比为2：4：7，

∴∠A=180°×=40°，∠C=180°×=140°，

∠B=180°×=80°，

∴∠D=180°﹣80°=100°，

故答案为：100．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．

例4．如图，四边形是平行四边形，经过点A，C，D与交于点E，连接，若，则_____________．

【答案】

【解析】

【分析】

由圆的内接四边形内对角互补性质，解得，进而由邻补角性质解得，再由平行四边形对角相等性质，解得，最后由三角形内角和180°解题即可．

四边形是的内接四边形

，

四边形是平行四边形，

故答案为：

【点睛】

本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

例5．如图，A．B．C．D都在⊙O上，∠B=130°，则∠AOC的度数是______

【答案】100°

【解析】

∵∠B=130°，∴∠D=180°－130°=50°，

∴∠AOC=2∠D=100°.

故答案为100°.

点睛：圆的内接四边形对角互补.

例6．下列说法错误的是（）

A．圆内接四边形的对角互补 B．圆内接四边形的邻角互补

C．圆内接平行四边形是矩形 D．圆内接梯形是等腰梯形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形的性质分别分析得出即可．

解：A、圆内接四边形的对角互补，正确，不合题意；

B、圆内接四边形的邻角互补，错误，符合题意；

C、圆内接平行四边形是矩形，正确，不合题意；

D、圆内接梯形是等腰梯形，正确，不合题意．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确把握圆内接四边形对角互补进而得出是解题关键．

例7．如图，四边形内接于，点P为边AD上任意一点（点P不与点A、重合）连接CP，若，则的度数可能为（???）???

A．30° B．54° C．50° D．65°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形对角互补，求得的度数，根据三角形的外角性质可得，进而可确定的范围，根据选项即可求解．

解：∵四边形ABCD内接于，

∴，

∵，

∴，

∵为的外角，

∴，只有D满足题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形形对角互补，三角形的外角性质，求得的大小是解题的关键．

例8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（）

A．18° B．20° C．25°