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圆锥曲线的光学性质

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圆锥曲线的光学性质

圆锥曲线的光学性质

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圆锥曲线光学性质的证明及应用初探

圆锥曲线的光学性质

1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；（见图1.1）

椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理.

证明：由导数可得切线的斜率，而的斜率，的斜率

∴到所成的角满足，

在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足,

∴,而，∴

1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后,反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2）．

双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．

1．3抛物线的光学性质:从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴(如图1。3）

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大,并可通过转动抛物线的对称轴方向,控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的,把接收器置于其焦点,抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星,则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

?

?

图1.3

F2

?

?

F1

图1.2

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?

A

F1

F2

D

O

图1.1

B

要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化及证明

2．1圆锥曲线的切线与法线的定义

设直线与曲线交于,两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近,一直到，重合为一点,此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线。

此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化:

2。2 圆锥曲线光学性质的证明

预备定理1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：。

证明:由……①，

1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，∴对①式求导：，

∴,∴切线方程为……②，

∵点在椭圆上，故，代入②得……③，

而当时,切线方程为，也满足③式，故是椭圆过点的切线方程。

预备定理2.若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：

证明：由……①,

1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，

∴对①式求导：，∴，∴切线方程为……②，

∵点在双曲线上，故代入②得……③，

而当时,切线方程为，也满足③式,故是双曲线过点的切线方程.

预备定理3.若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是

证明:由,对求导得：，

当时，切线方程为，即,

而………①，而当时，切线方程为也满足①式，

故抛物线在该点的切线方程是.

定理1。椭圆上一个点的两条焦半径的夹角被椭圆在点处的法线平分（图2.1）

已知：如图,椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设,

xyDP

x

y

D

P

证法一：在上，，

则过点的切线方程为：，是通过点

且与切线垂直的法线，

则，

∴法线与轴交于，

∴，∴，又由焦半径公式得：，∴,∴是的平分线,

∴，∵，故可得

证法二：由证法一得切线的斜率,而的斜率，的斜率，∴到所成的角满足：

∵在椭圆上，∴，

同理,到所成的角满足,∴

而,∴

证法三:如图,作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点

下面只需证明点与重合即可.

一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）。

另一方面，在直线上任取另一点，∵

即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一