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数值积分期末试题及答案

正文部分：

假设我们已经学习了数值积分的基本概念和常用方法，下面是一份

数值积分的期末试题及答案，希望对大家复习和巩固知识有所帮助。

题目1：

计算定积分的数值近似值，保

留小数点后4位。

解答1：

首先，我们可以使用复化梯形公式进行数值积分。将积分区间

$[0,1]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=

rac{1}{n}$，则

复化梯形公式的数值近似值为：

f(x_i)+f(x_n)

ight]$，其中$x_0$和$x_n$分别为积分区间的起点和终

点，$x_i$为每个小区间的中点。

对于本题，我们可以取$n=10$来进行计算。首先，计算出每个小

区间的中点坐标，并代入函数$f(x)=

rac{e^x}{x^2+1}$的值，然后进

行求和。最后乘以$

rac{h}{2}$得到数值近似值。经过计算，得到结

果为。

因此，定积分的数值近似值为

约$1.8951$。

题目2：

对于函数$f(x)=x^2$，计算定积分

dx$的数值近似值，保留小数点后4位。

解答2：

本题要求计算函数$f(x)=x^2$在区间$[0,10]$上的弧长。根据定义，

弧长的数值近似值可以使用复化梯形公式进行计算。

首先，需要计算出$f(x)$的值。对$f(x)$求导得到$f(x)=2x$。然

后，将$f(x)$的值代入到中，并记作

。

接下来，将积分区间$[0,10]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽

度为$h=

rac{10}{n}$。使用复化梯形公式进行数值近似计算，得到数

值近似值为：

g(x_i)+g(x_n)

ight]$，其中$x_0$和$x_n$分别为积分区间的起点和

终点，$x_i$为每个小区间的中点。

对于本题，我们可以取$n=10$来进行计算。首先，计算出每个小

区间的中点坐标，并代入函数$g(x)$的值，然后进行求和。最后乘以

$

rac{h}{2}$得到数值近似值。经过计算，得到结果为

775.9347$。

因此，定积分的数值近似值为

约$775.9347$。

通过以上两个例题，我们可以看到数值积分在计算定积分时具有一

定的实用性。在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的数值积分

方法来进行计算，以求得较为准确的数值近似值。然而，需要注意的

是数值积分仅仅是一种近似计算方法，无法得到精确的结果。在实际

问题中，我们应该结合数值积分的方法与解析方法，尽量求得精确解，

以满足具体应用的需求。

补充部分：

除了上述的题目和答案以外，我们还可以通过增加一些题目和答案

来进一步巩固数值积分的知识。

题目3：

计算定积分的数值近似值，保留

小数点后4位。

解答3：

对于本题，我们可以使用辛普森法则进行数值计算。辛普森法则的

计算公式为：

，其中$x_0$和

$x_n$为积分区间的起点和终点，$x_{2i-1}$和$x_{2i}$分别为每个小

区间的中点。

对于本题，我们可以取$n=10$来进行计算。首先，计算出每个小

区间的中点坐标，并代入函数$f(x)=

rac{1}{1+x^2}$的值，然后进行

求和。最后乘以$

rac{h}{3}$得到数值近似值。经过计算，得到结果

为。

因此，定积分的数值近似值为约

$0.7854$