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二次函数知识点高三

一、概念和基本形式

二次函数是指具有形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。其中，x为自变量，y为因变量。二次函数的图像为抛物线。

二、顶点坐标和轴对称性质

1.顶点坐标：二次函数的图像在平面直角坐标系中的顶点坐标为（h，k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的最低点（或最高点）的纵坐标。

2.轴对称性质：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。

三、开口方向和开口大小

1.开口方向：由二次函数的系数a的取值决定。

-当a0时，抛物线开口向上；

-当a0时，抛物线开口向下。

2.开口大小：由二次函数的系数a的绝对值决定。

-当|a|1时，抛物线开口较为狭窄；

-当0|a|1时，抛物线开口较为宽阔；

-当|a|=1时，抛物线为特殊情况，开口方向上等于1。

四、零点（根）和交点

1.零点（根）：二次函数零点指的是使得函数值为0的自变量值，即方程ax^2+bx+c=0的解。

-若方程有两个不同实数解，则二次函数与x轴有两个不同交点；

-若方程有两个相等实数解，则二次函数与x轴有一个重复交点；

-若方程无实数解，则二次函数与x轴没有交点。

2.交点：二次函数与y轴的交点为(0，c)。

五、对称轴和焦点

1.对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线，对称轴方程为x=h。

2.焦点：二次函数的焦点是抛物线的最低点（或最高点），焦点坐标为（h，k+1/4a）。

六、求解二次函数图像与其他函数的交点

1.与直线的交点：将二次函数与直线的方程相等，解方程即可求得交点的横坐标，进而带入二次函数中得到纵坐标。

2.与其他二次函数的交点：将两个二次函数的方程相等，解方程即可求得交点的横坐标，进而带入任意一个二次函数中得到纵坐标。

七、二次函数的应用

1.建模问题：二次函数可以用于对现实生活中的一些问题进行建模，如抛射问题、物体运动轨迹的描述等。

2.最优解问题：通过对二次函数的图像进行分析，可以求得最值点（最大值或最小值点），从而求解最优解问题。

3.几何问题：二次函数可以用于刻画几何图形的特征，如抛物线、拱形等。

八、总结

二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在几何、建模、物理等领域中具有广泛的应用。通过对二次函数的概念、基本形式、性质以及与其他函数的关系进行深入学习和理解，能够使我们更好地掌握和运用二次函数知识，提高解决问题的能力和水平。