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数数学学之之美美｜｜⼏⼏何何图图形形之之美美

1⽤⽤三三种种数数量量相相同同、、朝朝向向不不同同的的菱菱形形摆摆满满⼀⼀

个个正正六六边边形形

下图是由⼀个个三⾓形组成的正六边形棋盘，现在请你⽤右边的三种（仅朝向不同的）菱形

把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中⼀部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使⽤的每种

菱形数量⼀定相同。

2勾勾股股定定理理

不需语⾔的图形直接证明：

3任任意意三三⾓⾓形形三三分分⾓⾓构构成成的的等等边边三三⾓⾓形形

三⾓形三个⾓的三等分线共有6条，每相邻的（不在同⼀个⾓的）两条三等分线的交点，是⼀个

等边三⾓形的顶点。如下图①。

4勒勒沃沃三三⾓⾓形形，，如如上上图图②。。

以等边三⾓形每个顶点为圆⼼，以边长为半径，在另两个顶点间作⼀段弧，三段弧围成的曲边

三⾓形就是勒洛三⾓形（reuleauxtriangle），也称鲁洛三⾓形。

5任任意意四四边边形形的的平平形形四四边边形形

任意四边形，每条边的中点的连续就是⼀平⾏四边形，如下：

6⼏⼏何何平平均均值值于于算算术术平平均均值值

⼏何平均数（geometricmean）是指n个观察值连乘积的n次⽅根。是不等式中最重要和基础的

等式。

7黄黄⾦⾦⽐⽐例例φ和和黄黄⾦⾦长长⽅⽅形形

把⼀条线段分割为两部分，使其中⼀部分与全长之⽐等于另⼀部分与这部分之⽐。其⽐值是⼀

个⽆理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此⽐例设计的造型⼗分美丽，因此称为黄

⾦分割，也称为中外⽐。这是⼀个⼗分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可

以发现：

1/0.618=1.618

(1-0.618)/0.618=0.618

做⼀个RT三⾓形ABC,直边AC的长度是斜边BC的⼀半，以C为圆⼼，AC为半径，做圆交BC于

D,以B为圆⼼，BD为半径做圆交AB于，B与A之⽐即为黄⾦分割。笔直可计算出，为

[5^(1/2)-1]/2≈0.618

8不不可可能能图图形形：：彭彭罗罗斯斯三三⾓⾓形形、、彭彭罗罗斯斯阶阶梯梯

不可能图形是由⼈类的视觉系统瞬间意识地对⼀个⼆维图形的三维投射⽽形成的光学错觉，在

三维空间中它不可能存在，但研究它将会对⼈脑图像形成提供医学上的帮助。

9透透视视错错觉觉图图

下图中的两条红线因为透视的关系会给你⼀种错觉，认为处于右边较远透视位置的的红线要

长。其实两条红线⼀样长。

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