导数各类题型方法总结（含答案）.pdfVIP

导导数数各各类类题题型型⽅⽅法法总总结结（（含含答答案案））

导数各种题型⽅法总结

⼀、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；等式恒成⽴;1此类问题提倡按以下三个步骤进⾏解决：

第⼀步：令f(x)

0得到两个根；

第⼆步：画两图或列表；第三步：由图表可知；

其中等式恒成⽴问题的实质是函数的最值问题，2、常见处理⽅法有三种：第⼀种：分离变量求最值⽤分离变量时要特别注意是否需分类讨论(0,=0,0)

第⼆种：变更主元(即关于某字母的⼀次函数)

(已知谁的范围就把谁作为主元

)；

例1：设函数yf(x)在区间D上的导数为f(x)，f(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D

4

…、x

3

mx3x2

f(x)

12

62

(1)若yf(x)在区间0,3上为“凸函数”，求m的取值范围;

(2)若对满⾜m2的任何⼀个实数m,函数f(x)在区间a,b上都为“凸函数”，求b

值?

43^2

32

xmx3x

xmxo

解：由函数f(x)

得f(x)

3x

1262

32

g(x)x2mx3

(1)Qyf(x)在区间0,3上为“凸函数”，

贝g(x)x2mx3

0在区间［0,3］上恒成⽴

解法⼀：从⼆次函数的区间最值⼊⼿：等价于gmax(x)

2xx3021x1

2xx30

上，g(x)0恒成⽴，则称函数yf(x)在区间

D上为“凸函数”，已知实数m是常数，a的最⼤

g(0)g(3)

3093m30

解法⼆：

分离变量法：

0时,

g(x)

x3时,g(x)x232

x

2xmxmx

30恒成⽴,0恒成⽴

等价于m-—3

x

由3门

⽽h(x)x(0x

m2

3的最⼤值

x

(0x3)恒成⽴,3)是增函数，贝yhmax(x)h(3)2

(2)v当m2时f(x)在区间a,b上都为“凸函数”

则等价于当m2时g(x)

2

xmx30恒成⽴

变更主元法

2

再等价于F(m)mxx3

2恒成⽴(视为关于m的⼀次函数最值问题)

F(2)0F(2)

例2:设函数f(x)〔x32ax23a2xb(0a1,bR)

3

(I)求函数f(x)的单调区间和极值；

(⼆次函数区间最值的例⼦)

g(x)x24ax3a2在[a1,a2]上是增函数.

g(x)maxg(a2)2a1.

g(x)ming(a1)4a4.

于是，对任意x[a1,a2]，等式①恒成⽴，等价于

a1.

4

⼜0a1,???a1.

5

点评：重视⼆次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值

题型特征：f(x)g(x)恒成⽴h(x)f(x)g(x)0恒成⽴；从⽽转化为第⼀、⼆种题型

(n)若对任意的x[a1,a2],等式f(x)a恒成⽴，求a的取值范围.

x3axa

33

x=a时，f(x)

4

b；

由|f(x)|a,得：对任意的[a1,a2],x24ax3a2a恒成⽴①则等价于g(x)这个⼆次函数

g

max(x)a

gmin(x)a

2

g(x)x

2

4ax3a的对称轴x2aQ0a1,a12a(放缩法)

g(x)这个⼆次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。

令f(X)0,得f(x)的单调递减区间为

解:(i)f(x)x24ax3a2

当x=3a时,f(x)极⼤值=b.

即定义域在对称轴的右边,

g(a1)2a1a5

例3；已知函数f(x)

x3ax2图象上⼀点P(1,b)处的切线斜率为3,

3

t62

g(x)x3

2x2(t1)x

3(t0)

(［)求a,b的值；

(n)当x［1,4］时，求f(x)的值域；

(川)当x［1,4］时，等式f(x)g(x)恒成⽴，求实数t的取值范围。f(x)的值域是［4,16］

思路1：要使f(x)g(x)恒成⽴，只需h(x)0,即t(x2

2x)2x6分离变量

思路2:⼆次函数区间最值⼆、题型⼀：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围

解法1：转化为f(x)0