第04讲 导数在研究函数中的应用（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.docxVIP

第04讲导数在研究函数中的应用

【人教A版2019】

·模块一导数中的函数零点（方程根）问题

·模块二导数中的不等式证明

·模块三导数中的恒成立、能成立问题

·模块四课后作业

模块一

模块一

导数中的函数零点（方程根）问题

1．导数中的函数零点（方程根）问题

利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：

(1)利用导数研究函数f(x)的最值，转化为f(x)图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想解决.

(2)分离参变量，即由f(x)=0分离参变量，得a=g(x)，研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.

【考点1利用导数研究函数的零点（方程的根）】

【例1.1】（2023上·天津滨海新·高三校考阶段练习）已知函数fx=xex+1x≥0

A．1,1+1e∪

C．1,1+1e∪

【解题思路】先求出函数f(x)-1的零点即可求得f(x)-a的值，再结合函数y=f(x)的图象及要求的零点个数求出m范围得解.

【解答过程】令y=xex+1，x≥0，y=1-xex

因此，函数y=xex+1在

x=1时，ymax=1+1e，且

当x0时，f(x)在(-∞,-1)上单调递减，在

x=-1时，f(x)min

当x0时，由f(x)-1=0得x=-2，即x≥0，由f(x)-1=0得x=0，则有函数f(x)-1的零点为-2，0，

函数y=f(f(x)-a)-1有三个零点，当且仅当f(x)-a=-2和f(x)-a=0共有三个零点，即f(x)=a-2和f(x)=a共有三个零点，

当a-21+1e，即a3+1e时，

当a-2=1+1e，即a=3+1e时，

当1a-21+1e，即3a3+1e时，

当0a-2≤1，即2a≤3时，f(x)=a-2有两个零点，f(x)=a有一个零点，共三个零点，

当a-2=0，即a=2时，f(x)=a-2和f(x)=a各有一个零点，共两个零点，

当a-20，即a2时，f(x)=a-2无零点，要y=f(f(x)-a)-1有三个零点，当且仅当f(x)=a有三个零点，必有1a1+1

所以实数a的取值范围是(1,1+1

故选：B.

【例1.2】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）已知函数fx=xex,x0-x2+2x,x≥0，若关于

A．-∞,-1e B．-1e

【解题思路】求导分析函数fx的单调性及极值，作出函数fx的图象，把方程f2x-2+tfx

【解答过程】因为当x0时，fx=xe

所以当x∈-∞,-1时，f

当x∈-1,0时，fx0，fx

又因为当x≥0时，fx

所以fx在x∈0,1时单调递增，在x∈1,+

所以作出函数fx

??

由f2x-

所以fx=2或fx=t，则fx

数形结合可知-1

故选：B.

【变式1.1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）已知fx=xex

A．存在实数k，使得对任意实数m，函数gx

B．存在实数m，使得对任意实数k，函数gx至少有2

C．对于任意实数m，存在实数k，使得函数gx恰有2

D．对于任意实数k，存在实数m，使得函数gx恰有3

【解题思路】根据题意画出函数在x∈-∞,0上的图象，再对参数k进行分类讨论即可得不管k取何值时，函数fx的值域不为R，所以A错误；由图可知，当m∈-1e,0时，y=m与fx=xex在x∈-∞,0上有两个交点，即B正确；易知对于任意实数m0，不管k取何值时，函数fx

【解答过程】由解析式可知，当x≤0时，fx=xe

易知当x∈-∞,-1时，fx

即可得函数fx在-∞,-1

所以函数fx在x=-1处取得极小值，也是最小值为-1

即可得fx=xex在

易知，当k=0时，函数fx

??

当k0时，易知二次函数y=kx2-x

其图象大致如下图所示：

??

当k0时，易知二次函数y=kx2-x

其图象大致如下图所示：

??

由以上三种情况可知，当k≤0时，函数fx的值域为-

当k0时，易知y=kx2-x在对称轴x=

所以当k≥e4时，-14k≥-

当0ke4时，-14k-

对于A，若使得对任意实数m，函数gx都有零点，即函数y=m与函数f

此时须满足存在实数k使得fx的值域为R

由图象可知，不管k取何值时，函数fx的值域都不为R，即A

对于B，易知当m∈-1e,0时，y=m与

所以不管k取何值时，只需m∈-1e,0，函数

即存在实数m∈-1e,0，使得对任意实数k，函数gx

对于C，根据图象可得，对于任意实数m0，不管k取何值时，函数fx与y=m

即m0时，不满足对于任意实数m，存在实数k，使得函数gx恰有2个零点，即C

对于D，当k≤0时，易知不管k取何值时，仅存在m∈-1e,0，使得函数

由图可知当0ke4时，易知m∈-1e

即对于任意实数k，不存在实数m，使得函数gx恰有3个零点，所以D

故选：B.

【变式1.2】（