(12)--06讲 只有“0”和“1”的二进制2309.doc

今天这节课，我们要一起来认识和讨论一下计算机数据存储和运算的基础——二进制。

我们读小学做算术题的时候，就有这样一句口诀“满十进一，借一当十”，这就是在我们的日常生活中应用最广泛的十进制。当然，大家也都知道很多其它的进制形式，比如，7天为一个星期，这是7进制；12个月为一年，这是12进制；60分钟为1小时，这就是60进制等等。

从远古时代的结绳记事，到工业时代的科学计算，再到信息时代的海量数据存储和运算，数学理论的发展为人类生产生活和科学技术的发展带来了巨大的推动力，而数字和数制的发明和应用可以说是数学这门基础理论学科的基石。数字，让人们仅仅使用1个符号就可以描述不同的数量，而数制，又叫进位计数制，是一种计数规则，它让人们用同一个数字就能够描述不同的数量级。

十进制，大家自然是十分熟悉了，二进制，想必大家也都知道它是计算机存储和处理数据时所采用的数制形式。但是，二进制到底是什么、它是怎么产生的、计算机的运算为什么要采用二进制而不是人们更熟悉的十进制呢？

首先，来看第一个问题，什么是二进制？

简单地说，二进制就是只包含0和1两个数字，计算规则为“逢二进一，借一当二”的数制。

那么，二进制是怎么产生的呢？

早在两千多年前，中国的《易经》中就有两仪生四象，四象生八卦，八卦生万物的说法，这可以看作是二进制的原型。到了公元1679年，德国数学家莱布尼兹撰写了题为《二进算术》的论文，对二进制进行了充分的讨论，并阐述了二进制的表示及运算。尽管有一些证据说明，莱布尼兹在撰写论文时受到了中国伏羲易图的启发，但由于他对二进制的大力提倡和推广，现代普遍认为二进制是由莱布尼兹发明创造的。

那么，为什么我们要让计算机选用二进制，它到底有什么优势呢？

先来看看采用二进制的可行性

大家先来思考一下人生吧，看看是不是世间万物是不是至少都有两种状态，或者能够简化成两种基本状态，比如：开和关、好和坏、生和死、有和无等等。这就是采用二进制的前提，就像莱布尼兹说的——“从虚无创造万物，有一就够了”。

另外，在计算机的信息世界里，信号的表示是通过各种物理量的变化来生成的，而能够表示0和1两种状态的电子器件很多，比如：开关的接通和断开，晶体管的导通和截止、磁元件的正负剩磁、电位电平的高与低等等。这些都是实现二进制的技术保障。

二进制的简易性

二进制的运算规则相较于十进制是十分简单的。比如，大家在小学时候背过的九九乘法口诀表有55句计算口诀，而二进制的乘法却只有4条规则。简单的运算使得计算机运算器的硬件结构大大简化。

第三，二进制的可靠性

二进制将所有问题都简化为两种状态，便于轻松地识别信号，提高传输和获取信息的准确率和可靠性。大家都知道，信号在传输的过程中会发生变化形成误差，在这里，我假设变化会造成30%的误差，也就是说“0”在传输中可能变成-30%到30%中的任意一个数，“1”则可能变成70%到130%中的任意一个数，这时如果采用二进制，规定只要是小于50%的数就代表“0”，而大于50%的数就代表“1”，那么只要误差不超过50%，信号的识别就被简化了，传输的精度也得到了保证。

同学们可以想一想，在这样的传输条件下，如果采用10进制会发生什么情况呢？传输的信号能不能被准确地识别呢？

第四，二进制的逻辑性

大家应该都听说过逻辑代数，它是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，由英国逻辑学家\t/item/%E9%80%BB%E8%BE%91%E4%BB%A3%E6%95%B0/_blank乔治·布尔(George·Boole)于19世纪中叶提出，因而又称\t/item/%E9%80%BB%E8%BE%91%E4%BB%A3%E6%95%B0/_blank布尔代数，它被广泛地应用于开关电路和数字逻辑电路的研究中，随着数字技术的发展，逻辑代数已经成为分析和设计逻辑电路的基本工具和理论基础。

在逻辑代数中，所有的的变量都只有两个取值：“1”和“0”，它们不表示具体的数量，而只表示最基础的两种逻辑状态：真和假，也就是我们常常说的trueorfalse，因此，我们可以很自然地用二进制来表示二值逻辑，乔治布尔也正是基于二进制的这种特性，才能将对逻辑命题的思考过程转化为对符号“0”和“1”的逻辑代数演算。

初步认识了二进制之后，我们来了解一下数制的两个基本概念：基数和权值

（1）基数：基数指该进制数中允许选用的基本数码的个数，在十进制中就是0~9共10个数码，在二进制中就是0~1共2个数码

（2）权值：是指以基数为底，以位序为指数的幂。这个概念稍微复杂一点，所以让我们来看一个例子。

例如：一个十进制数9685，我们把它读作9千6百8十5，也就是说这个数等于9个千加上6个百加上8个十再加上5个1。这里的个十百千，分别代表10的0次幂、1次幂、2次幂、3次幂