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抽象代数基础丘维声答案

【篇一：index】

t关于模n剩余类环的子环和理想的一般规律

[文章摘要]

通过对模n剩余类的一点思考，总结出模n剩余类环的子环和理想

的规律：所有理想为主理想，可以由n的所有因子作为生成元生成，

且这些主理想的个数为n的欧拉数。使我们得以迅速求解其子环和

理想。

[关键字]

模n剩余类环循环群子环主理想

[正文]

模n剩余类是近世代数里研究比较透彻的一种代数结构。

一，定义：

在一个集合a里，固定n（n可以是任何形式），规定a元间的一

个关系r，

arb，当而且只当n|a-b的时候

这里，符号n|a-b表示n能整除a-b。这显然是一个等价关系。这

个等价关系普通叫做模n的同余关系，并且用

a?b(n)

来表示（读成a同余b模n）。

这个等价关系决定了a的一个分类。这样得来的类叫做模n的剩余

类。

二，我们规定a的一个代数运算，叫做加法，并用普通表示加法的

符号来表示。我们用[a]来表示a所在的剩余类。规定：

[a]+[b]=[a+b];

[0]+[a]=[a];

[-a]+[a]=[0];

根据群的定义我们知道，对于这个加法来说，a作成一个群。叫做

模n剩余类加群。这样得到的剩余类加群是循环群，并且[1]是其生

成元，[0]是其单位元。

三，我们再规定a的另一个代数运算，叫做乘法，并且规定：

[a][b]=[ab]；

根据环的定义我们知道，对于加法和乘法来说，a作成一个环。叫

做模n剩余类环。四，关于理想的定义：

环a的一个非空子集a叫做一个理想子环，简称为理想，假如：

(i)a,b?a?a-b?a；

(ii)a?a,b?a?ba,ab?a；

所以如果一个模n剩余类环a的子环a要作为一个理想，需要满足：

(i)[a],[b]?a?[a-b]?a；

(ii)[a]?a,[b]?a?[ba],[ab]?a；

由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一

个方法。思路：

第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子

群；

第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找

出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。

例题:找出模12的剩余类环的所有理想。

具体步骤：

第一步：

模12剩余类环所有元素的集合：

z12={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]}

找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，

所以用生成元表示：([0])={[0]};

z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])={[0],[6]};

第二步：

考虑对乘法的封闭性，求其子环：

([0])={[0]};

z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])={[0],[6]};

第三步：

根据理想的定义，对以上的子环，求其理想：

([0])=([12])={[0]};

z12;

([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};

([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};

([4])=([8])={[0],[4],[8]};

([6])=([6])={[0],[6]};

解答完毕。

通过观察以上的例子我们发现以下特点：

(i)模12剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于

所有理想;(ii)所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理

想；

(i