第九章系综理论 - USTC.pdf

第九章系综理论

9.1经典系综理论

9.2量子系综理论

9.3微正则系综

9.4正则系综

9.5巨正则系综

9.6涨落的广义系综理论

9.7近独立粒子组成的系统的系综法

9.8铁磁系统的平均场理论

9.9非理想气体的状态方程

9.0引言

微观态孤立系统

|⟩

量子力学：系统态()

经典力学：系统相空间Γ中的一个点，,,,…=,

1122

宏观态：,,,,,,,,…

热力学量=系综平均

系综：假想系统的集合，这些系统具有相同的宏观态（N,E），但

是可以处于不同的微观态上。

等几率假设：由孤立系统组成的系综里的系统处于不同微观态的

几率相同。

9.1经典系综理论

微观描述（一个系统）

个粒子在维空间里运动

,,,…,

微观态,Γ空间（相空间）里的一个点：代表点1122

简记为,

状态演化：正则方程

系统态随时间变化：代表点在Γ空间移动的曲线/轨道

物理量：==(,())

守恒量：=0，例如：保守系里的能量，粒子数等̇

9.1经典系综理论

系综

宏观态：由总能量，粒子数，体积等宏观参量描述

系综：具有系统宏观态，但是不同微观态的假想系统集合。

假设系综里有个系统，时刻，−系统的态为,

系综状态：相空间中代表点的集合

系综平均

9.1经典系综理论

几率密度

几率密度：(,,)

时刻系统处于→+∆,→+∆的几率=(,,)∆∆

相空间中代表点的密度

正定：(,,)≥0

归一：

9.1经典系综理论

Liouville定理

物理量随时间的变化

相空间代表点密度改变导致系综平均改变

Liouville定理

系综里的系统不会凭空消失或者凭空增加=相空间中代表点守恒=代表点

密度改变仅由从体积元表面进出决定

边界不变，流导致的变化边界改变导致的变化

=0，相空间体积不会发生改变

9.1经典系综理论

Liouville定理

跟随某个代表点运动时，其周围代表点密度不变

跟随系综里某个系统，与其状态相似的系统数不随时间变化

代表点占据的总体积不变

9.1经典系综理论

定态系综

平衡态←物理量不随时间变化←几率密度不随时间变化（定态）

定态系综的几率密度是守恒量的函数

常见的守恒量：保守系里的Hamiltonian，粒子数…

=(,,…)=(,,…)

微正则系综：

正则系综：

巨正则系综：

9.2量子系综理