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自同构群阶为4pq2的一类有限群的中期报告

本文将讨论一个自同构群阶为4pq2的一类有限群，其中p，q为不同的奇素数。我们首先给出定义：

定义：设G为一个有限群，自同构群为Aut(G)，则称G为自同构群阶为n的有限群，若Aut(G)的阶数为n。

接下来，我们将介绍这类有限群的一些基本性质：

1.群G是非交换群，其阶为4pq2。

2.群G中存在阶为p的元素x和阶为q的元素y，满足xy=yx。

3.群G中存在多个Sylow子群，且它们均同构于Sylp(G)和Sylq(G)的直积。

4.群G存在一个自同构，它将p阶元素x和q阶元素y交换。

5.群G的中心是阶为2的循环子群，且它是G的一个正规子群。

下面，我们将分别证明上述性质：

1.群G的阶为4pq2，而p、q均为奇素数且p≠q，因此G不可能为交换群。

2.假设所有阶为p的元素都与所有阶为q的元素都不相交换，则G的阶数应为(p-1)q(p+1)。但G的阶数是4pq2，与之矛盾，因此存在阶为p的元素x和阶为q的元素y满足xy=yx。

3.根据Sylow定理，G的p-Sylow子群和q-Sylow子群的阶都为p和q，以及它们的个数都是4q。因此，G存在多个Sylow子群，而它们的直积同构于Sylp(G)和Sylq(G)的直积。

4.设α为一个将x和y交换的自同构。易证其存在。事实上，设H为G的阶为pq的正规子群，则H同构于Sylp(G)或Sylq(G)。对于H的阶为p的元素x，由于H是正规子群，有α(x)∈H。同时，由于p和q是互质的，因此x和y都在H中，因此α(x)y=α(xy)=α(yx)=yα(x)，即xy=yx，这意味着α(x)和y是同阶元素，故α(x)=y。同理可得α(y)=x。

5.设Z(G)为群G的中心，则Z(G)的阶应该是4的因数，因此Z(G)的阶只可能为1或2或4。其中Z(G)是阶为2的循环子群时，易证它是G的正规子群。只需证明它是非平凡的，然后应用实际结论：

实际结论：如果G是一个群，且G/Z(G)是循环群，则G是交换群。

由于p≠q，因此G/Z(G)的阶不可能是p或q，因此它的阶应该为4或4pq（如果它是群G）。如果它是阶为4pq的群G，则Sylp(G)和Sylq(G)的直积是它的一个子群，它的阶为4pq，且G/Z(G)同构于它。因此，在这种情况下，G/Z(G)不可能是循环群。所以如果Z(G)是阶为2的循环子群，则它是G的一个正规子群。