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全国二卷数学理2017

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2017年普通高等学校招生全国统一考试

课标II理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（）

A．B．C．D．

2.设集合，。若，则（）

A．B．C．D．

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

D．5

9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）

A．2B．C．D．

10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

11.若是函数的极值点，则的极小值为（）

A.B.C.D.1

12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（）

A.B.C.D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则。

14.函数（）的最大值是。

15.等差数列的前项和为，，，则。

16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

的内角所对的边分别为，已知，

（1）求；

（2）若，的面积为，求。

18.（12分）

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg

箱产量≥50kg

旧养殖法

新养殖法

根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

附：

19.（12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点。

（1）证明：直线平面PAB；

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为，求二面角的余弦值。

20.（12分）

设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。

求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

21.（12分）

已知函数，且。

(1)求；

(2)证明：存在唯一的极大值点，且。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。

22。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。

（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值。

23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知。证明：

（1）；

（2）。

答案与解析

1．D

【解析】，故选D。

2．C

【解析】由得，所以，，故选C。

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