考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷41(题后含答案及解析).docVIP

考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷41(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．已知α1=(1，2，1，1，1)T，α2=(1，-1，1，0，1)T，α3=(2，1，2，1，2)T是齐次线性方程组Ax=0的解，且R(A)=3，试写出该齐次线性方程组Ax=0。

正确答案：由于α1，α2，α3是5维列向量，故方程组Ax=0有5个变量，而R(A)=3，因此Ax=0的基础解系包含5-R(A)=2个线性无关的解向量。又显然α1，α2线性无关(对应元素不成比例)，故可作为Ax=0的基础解系。由(α1，α2)=(α1-α2，α2)=可得Ax=0的同解方程组为(x4，x5为自由变量)涉及知识点：线性方程组

2．设矩阵A与B相似，且(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP=B。

正确答案：(Ⅰ)因为矩阵A和B相似，所以｜A｜=｜B｜，且tr(A)=tr(B)，即1+4+a=2+2+6，6(a-1)=4b，解得a=5，b=6。(Ⅱ)由于相似矩阵具有相同的特征值，所以矩阵A的特征值为2，2，6。当λ=2时，由(2E-A)x=0，求得属于它的特征向量为α1=(1，-1，0)T，α2=(1，0，1)T。当λ=6时，由(6E-A)x=0，求得属于它的特征向量为α3=(1，-2，3)T。令P=(α1，α2，α3)=，则有P-1AP=B。涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量

3．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．

正确答案：因为f(x)在[a，b]上不恒为常数且f(a)=f(b)，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)≠f(a)=f(b)，不妨设f(c)＞f(a)=f(b)，由微分中值定理，存在ξ∈(a，c)，η∈(c，b)，使得．涉及知识点：高等数学

4．

正确答案：涉及知识点：高等数学部分

5．已知

正确答案：令I(a)=上式两边对a求导得I’(a)=令y=2ax，则dy=2adx，所以由于I(0)=0，所以C=0，令a=1，得到涉及知识点：一元函数积分学

6．计算I=(x2+y2＋z)dS，其中S是圆锥面z=介于z=0与z=1之间的部分．

正确答案：曲面S：z=在xOy平面上的投影为D：x2+y2≤1，涉及知识点：高等数学

7．设随机变量(X，Y)的概率密度为求Z=X2+Y2的概率密度fz(z)．

正确答案：设Z的分布函数为FZ(z)，则涉及知识点：概率与数理统计

8．判别级数的敛散性．

正确答案：由泰勒公式，(条件)收敛，故原级数发散.

解析：这是交错级数，但不易判别｜un｜≥｜un+1｜，因此不能使用莱布尼茨判别法．为了能确定一般项的级别，需使用泰勒公式．知识模块：无穷级数

9．设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，已知E(Xk)=ak(k=1，2，3，4)．证明：当n充分大时，随机变量Zn=1／nXi2近似服从正态分布，并指出其分布参数．

正确答案：因为X1，X2，…，Xn独立同分布，所以X12，X22，…，Xn2也独立同分布且E(Xi2)=α2，D(Xi2)=α4－α22，当n充分大时，由中心极限定理得近似服从标准正态分布，故Zn近似服从正态分布，两个参数为μ=α2，σ2=(α4－α22)／n．涉及知识点：概率统计

10．求解+(y-x)dy=0．

正确答案：方程化为此为齐次方程，故令，代入上述方程得积分得ln(u+eu)=-ln｜y｜+C1，(u+eu)y=C，将，故原方程的通解为x+=C(C为任意常数)．涉及知识点：常微分方程

11．An×n=(α1，α2，…，αn)，Bn×n=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)，当r(A)=n时，方程组BX=0是否有非零解?

正确答案：方法一：B=(α1+α2，α2+α3，…，αn+α1)=(α1，α2，…，αn)，由r(A)=n可知｜A｜≠0，而｜B｜=｜A｜=｜A｜[1+(一1)n＋1]，当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解；当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．方法二BX=0x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn－1+xn)αn=0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以=1+(一1)n＋1，当n为奇数时，｜B｜≠0，方程组BX=0只有零解；当n为偶数时，｜B｜=0，方程组BX=0有非零解．涉及知识