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等腰三角形的性质定理和判定定理
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一.本周教学内容:
等腰三角形的性质和判定
?
二.教学目标:
(一)知识与技能:
(1)掌握等腰三角形的性质定理和判定定理,并会灵活运用。
???(2)能用上述结论进行分析与说理,进行初步的逻辑思维训练,形成一定的推理能力。
(二)情感态度与价值观:
通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。
?
三.重点、难点:
重点是等腰三角形的性质定理和判定定理
???难点是利用定理解决实际问题
?
四.教学过程:
(一)知识梳理
???知识点1:等腰三角形的性质定理1
??(1)文字语言:等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)
??(2)符号语言:如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C
???(3)证明:取BC的中点D,连接AD
?????????????在△ABD和△ACD中
?????????????
??????????∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)
(4)定理的作用:证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2:等腰三角形性质定理2
(1)文字语言:等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)
(2)符号语言:
∵AB=AC???????????∵AB=AC????????????∵AB=AC
∠1=∠2?????????????AD⊥BC?????????????BD=DC
∴AD⊥BC,BD=DC?∴∠1=∠2????????????∴∠1=∠2
BD=DC???????????????AD⊥BC
???(3)定理的作用:可证明角相等,线段相等或垂直。
???说明:在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。
???知识3:等腰三角形的判定定理
???(1)文字语言:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”)
(2)符号语言:在△ABC中
∵∠B=∠C????∴AB=AC
???(3)证明:过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°。
????在△ABD和△ACD中
????
∴△ABD≌△ACD(AAS)
∴AB=AC
???(4)定理的作用:证明同一个三角形中的边相等。
???说明:①本定理的证明还有其他证明方法(如作顶角的平分线)。
②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种:1、利用定义?2、利用定理。
?
【典型例题分析】
基础知识应用题:
例1.如图,已知P、Q是△ABC边BC上两点,且BP=PQ=AP=AQ=QC,求∠BAC的度数。
???解:∵AP=PQ=AQ(已知)
∴△APQ是等边三角形(等边三角形的定义)
∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°(等边三角形的性质)
∵AP=BP(已知)
∴∠PBA=∠PAB(等边对等角)
又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°
∴∠PBA=∠PAB=30°
同理∠QAC=30°
∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°
解答此类题的步骤如下:
(1)利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。
???(2)利用三角形内角和定理,确定等量关系,借助等式或方程求解。
?
?例2.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别为AB,BC,AC上的点,且BD=CE,∠DEF=∠B。
求证:△DEF是等腰三角形。
???证明:∵∠B+∠BDE+∠BED=180°(三角形内角和定理)
∠BED+∠DEF+∠FEC=180°(平角性质)
∠B=∠DEF(已知)
∴∠BDE=∠FEC(等角的补角相等)
在△BED和△CFE中
∠BDE=∠FEC中?(已证)
BD=CE??(已知)
∠B=∠C?(已知)
∴△BED≌△CFE(ASA)
∴DE=EF?(全等三角形对应边相等)
∴△DEF是等腰三角形?(等腰三角形定义)
?
综合应用题:
例3.已知:如图,AC和BD相交于点O,AB∥CD,OA=OB,求证:OC=OD
???证明:∵AB∥CD?(已知)
∴∠A=∠C,∠B=∠D?(两直线平行,内错角相等)
∵OA=OB?(已知)
∴∠A=∠B?(等边对等角)
∴∠C=∠D?(等量代换)
∴OC=OD?(等角对等边)
?
?例4.如图,在四边形ABDC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,试判断DC与
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