考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷23(题后含答案及解析).docVIP

考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷23(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续

2．设f(x)=求常数a与b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上处处连续．

正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续

3．设向量a＝｛3，－4，2｝，轴u的正向与三个坐标轴的正向构成相等的锐角，试求：(1)向量a在轴u上的投影；(2)向量a与轴u的夹角．

正确答案：设u轴上的单位向量为uo，则uo＝｛cosα，cosα，cosα｝于是3cos2α＝1(方向角应满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1)涉及知识点：综合

4．设随机变量X的概率密度为f(x)，已知D(X)=1，而随机变量Y的概率密度为f(一y)，且ρXY=记Z=X+Y，求E(Z)，D(Z)．

正确答案：E(Z)=E(X+Y)=E(X)+E(Y)=∫-∞+∞xf(x)dx+∫-∞+∞yf(一y)dy．令y=一x，则∫-∞+∞yf(一y)dy=∫+∞-∞(一x)f(x)d(一x)=一∫-∞+∞xf(x)dx，所以E(Z)=0．又D(Y)=E(Y2)一[E(Y)]2=E(Y2)-[一E(X)]2，而E(Y2)=∫-∞+∞y2f(一y)dy=∫+∞-∞(一x)2f(x)d(一x)=∫-∞+∞x2f(x)dx=E(X2)，所以D(Y)=E(Y2)一[一E(X)]2=E(X2)一[E(X)]2=D(X)=1．于是D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)涉及知识点：概率论与数理统计

5．证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)若随机变量X与自己独立，则存在C，使得P(X=C)=1．

正确答案：证明：(1)x＜a时，P(X≤x)=0，故P(X≤x，Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)=0；x≥a时，P(X≤x)=1，故P(X≤x，Y≤y)=P(y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)。∈R2，有P(X≤x，Y≤y)=P(X≤x)P(y≤y)，即X与Y独立；(2)由已知得：∈R2，有P(X≤X，Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)，记X的分布函数为F(x)，则F(x)=P(X≤x)前式中令y=x即得F(x)=[F(x)]2，可见F(x)只能取0或1，又由F(一∞)一0，F(+∞)=1，知必存在C(常数)，使得故P{X=C}=1．涉及知识点：概率与数理统计

6．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＋f(ξ)g’(ξ)＝0．

正确答案：令φ(x)＝f(x)eg(x)，由f(a)＝f(b)＝0得φ(a)＝φ(b)＝0，则存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，因为φ’(x)＝eg(x)[f’(x)＋f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)＋f(ξ)g’(ξ)＝0．涉及知识点：微积分

7．设f’(x)=，其中a＜b＜c，证明：f’(a)≠0且f’(b)≠0，f’(c)≠0．

正确答案：作辅助函数因f(x)=0的三根为a，b，c，故f’(x)的两个根在(a，b)，(b，c)中，故f’(a)≠0(同理f’(c)≠0，f’(b)≠0)．涉及知识点：线性代数

8．求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．

正确答案：涉及知识点：多元函数微积分学

9．设随机变量X服从[a，a+2]上的均匀分布，对X进行3次独立观测，求最多有一次观测值小于a+1的概率．

正确答案：设Y表示对X进行3次独立观测，其观测值小于a+1的次数，p=P{X＜a+1}=0．5，则Y～B(3，0．5)．所求概率为P{Y=0}+P{Y=1}=0．53+C310．5×0．52=0．5．涉及知识点：概率论与数据统计

10．求极限．

正确答案：涉及知识点：微积分

11．求微分方程的通解．

正确答案：由得令u=siny，则令u-1=z，则解得则涉及知识点：常微分方程与差分方程

12．已知一本书中每页印刷错误的个数X服从参数为0．2的泊松分布，写出X的概率分布，并求一页上印刷错误不多于1个的概率。

正确答案：由题意可知，X～p（0．2），X的概率函数为将x=0，1，2，3…代入函数，可得p（0）≈0．8187，p（1）≈0．1637，p（2）≈0．0164，p（3）≈0．0011，p（4）≈0．0001，p（5）≈0。X的概率分布表如下：一页上印刷错误不多于1个的概率p=p（0）+p（1）