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广西民族大学高等代数期末考试试题

高等代数期末考试试题

1.证明：若A和B为n阶方阵，且AB=BA，则det(AB)=det(A)det(B)。

证明：首先，根据性质det(kA)=k^ndet(A)（k为常数），我们可以得到det(A^m)=(det(A))^m。现在考虑方阵AB，根据det(AB)=det(BA)，我们有det(AB)=det(BA)，即det(AB)=det(A)det(B)。

2.设A为n阶方阵，证明：det(kA)=k^ndet(A)（k为常数）。

证明：通过行列式的性质，我们知道det(kA)=det(kA^T)=det(kA^T)=k^ndet(A)。因此，det(kA)=k^ndet(A)。

3.计算矩阵的秩：A=\begin{pmatrix}123\\253\\102\end{pmatrix}。

首先，将矩阵A进行初等行变换，得到行阶梯形矩阵为：\begin{pmatrix}123\\01-3\\001\end{pmatrix}。通过观察可知，矩阵A的秩为3。

4.设A，B为n阶方阵，证明：det(AB)=det(A)det(B)。

证明：首先，我们知道det(kA)=k^ndet(A)（k为常数），因此det(A)=det(kA)det(A)。接下来，根据det(AB)=det(BA)，我们有det(AB)=det(A)det(B)。

5.设A为n阶方阵，证明：若A可逆，则det(A)≠0。

证明：假设det(A)=0，根据det(kA)=k^ndet(A)（k为常数），我们有det(kA)=k^n0=0，即A不可逆。因此，若A可逆，则det(A)≠0。

6.计算矩阵的逆：A=\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}。

首先，我们可以列方程求逆矩阵，即求解AX=I，其中I为单位矩阵。解方程得到A的逆矩阵为A^(-1)=\begin{pmatrix}-21\\1.5-0.5\end{pmatrix}。

7.设A，B为n阶方阵，若det(A)=det(B)，是否一定有A=B？说明理由。

不一定。虽然det(A)=det(B)表示A和B的行列式相等，但并不能保证A=B，因为A和B可能有不同的元素，只是它们的行列式相等。

8.设A为n阶方阵，证明：若A为上（下）三角矩阵，则det(A)为A的对角元素的乘积。

证明：A为上三角矩阵时，det(A)=A的对角元素的乘积。首先，A的对角元素为a11，a22，...，ann，det(A)=a11*a22*...*ann。同理，A为下三角矩阵时，det(A)也为A的对角元素的乘积。

9.计算矩阵的行列式：A=\begin{pmatrix}213\\024\\103\end{pmatrix}。

通过对A进行初等行变换，将A化为行阶梯形矩阵为：\begin{pmatrix}213\\024\\001\end{pmatrix}，行列式det(A)=2*2*1=4。

10.证明：若A，B为n阶方阵，det(A+B)≠det(A)+det(B)。

证明：假设det(A+B)=det(A)+det(B)，则det(A)=det(A+0)=det(A)+det(0)=det(A)。由此，det(A)=det(A)，即det(0)=det(A)=det(A+0)=det(A)+det(0)=det(A)，矛盾，所以det(A+B)≠det(A)+det(B)。

以上为广西民族大学高等代数期末考试试题，希望能够帮助您复习和加深对高等代数知识的理解。祝您考试顺利，取得好成绩！如果您有任何疑问或需要进一步的解释，请随时与我联系。