4.3.2等比数列的前n项和公式（第二课时）（教案+练习）-【高效课堂】2024-2023高二数学同步备课（人教A版选择性必修第二册）_new.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

等比数列的前n项和公式第二课时

1.课时教学内容

等比数列前n项和公式

2.课时学习目标

掌握等比数列的前n项和公式及其应用；

能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题。

3.教学重点与难点

重点∶等比数列的前n项和公式及其应用。

难点∶运用等比数列解决实际问题。

4.教学过程设计

环节一知识回顾

等比数列的前n项和公式

已知量

首项a1、公比q(q≠1)与项数n

首项a1、末项an与公比q(q≠1)

首项a1、

公比q＝1

求和

公式

S

S

S

环节二例题解析：

例1：如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.

(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；

(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？

分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。

解：设正方形的面积为a1，后续各正方形的面积依次为a2,a3,?

由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，

所以ak+1=1

因此{an}，是以25为首项，1

设{an}的前项和为

（1）S10=25×1?12

所以，前10个正方形的面积之和m

(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和

a1

而Sn=25×1?

随着n的无限增大，12n将趋近于0，

所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.

例2：去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.

分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。

解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn（单位：万吨），则an=20(1+5%)

Sn=

=a

=

=(20×1.05)×(1?1.05n)?

=420×

当n=5时，S5

所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.

解决数列应用题时

一是：明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；

二是：明确是求an，还是求Sn

跟踪训练1.某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n年内的总投入与

解：由题意知第1年投入800万元，

第2年投入800×1?

……

第n年投入800×(1?

所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为1?1

所以n年内的总投入

Sn

由题意知，第1年旅游业的收入为400万元，

第2年旅游业的收入为400×1+

……

第n年旅游业的收入为400×1+

所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，

公比为1+1

所以n年内旅游业的总收入

Tn

故n年内的总投入为4000×1?

n年内旅游业的总收入为1600×(

环节三课堂检测：

1．等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为()

A.a1(1?q2n)1?qB.a1(1?q

【答案】C

2．记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.

【答案】－63

3．数列12，12+14，1

【答案】n?1+

环节四：课堂小结

（1）掌握用等比数列知识解决增长率等问题的数学模型，尤其要注意公比与项数的选取；

（2）根据实际问题，先分清等比数列与等差数列,再建立不同的数学模型；

（3）通过实际问题，发现等差数列与等比数列的不同特点.

环节五：课后作业：

为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2018年开始出口，当年出