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专注:心无旁骛,万事可破
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专注:心无旁骛,万事可破
7.1复数的概念
【题型归纳目录】
题型一:复数的概念
题型二:复数的分类
题型三:复数相等的充要条件
题型四:复数与复平面内的点的关系
题型五:复数与复平面内的向量的关系
题型六:复数的模及其应用
题型七:复数模的几何意义
题型八:复数的轨迹与最值问题
【知识点梳理】
知识点一:复数的基本概念
1、虚数单位
数叫倣虚数单位,它的平方等于,即.
知?点诠释:
(1)是的一个平方根,即方程的一个根,方程的另一个根是;
(2)可与实数进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
2、复数的摡念
形如的数叫复数,记作:;
其中:叫复数的实部,叫复数的虚部,是虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集,用字母表示.
知识点诠释:
复数定义中,容易忽视,但却是列方程求复数的重要依据.
3、复数的分类
对于复数
若,则为实数,若,则为虚数,若且,则为纯虚数.
分类如下:
()
用集合表示如下图:
4、复数集与其它数集之间的关系
(其中为自然数集,为整数集,为有理数集,为实数集,C为复数集.)
5、共轭复数:
当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.通常记复数的共轭复数为.
知识点二:复数相等的充要条件
两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.即:
如果,那么
特别地:.
知识点诠释:
(1)一个复数一旦实部、虚部确定,那么这个复数就唯一确定;反之一样.
根据复数与相等的定义,可知在两式中,只要有一个不成立,那么就有(,).
(2)一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小如果两个复数都是实数,就可以比较大小;也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.
知只点三:复数的几何意义
1、复平面、实轴、虚轴:
如图所示,复数可用点表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,轴叫做实轴,轴叫做虚轴
知识点诠释:
实轴上的点都表示实数.除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
2、复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法,每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义.
3、复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应的,所以,我们还可以用向量来表示复数.
设复平面内的点表示复数,向量由点唯一确定;反过来,点也可以由向量唯一确定.
复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的,即
复数平面向量
这是复数的另一种几何意义.
4、复数的模
设,则向量的长度叫做复数的模,记作.
知识点诠释:
①两个复数不全是实数时不能比较大小,但它们的模可以比较大小.
②复平面内,表示两个共轭复数的点关于x轴对称,并且他们的模相等.
【典型例题】
题型一:复数的概念
【方法技巧与总结】
复数中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部.
例1.(2023·高一课时练习)下列说法正确的是(????)
A.表示虚数单位,所以它不是一个虚数
B.的平方根是
C.是纯虚数
D.若,则复数没有虚部
例2.(2023春·江苏盐城·高一盐城市田家炳中学校考)复数的实部是(????)
A.2 B. C.2+ D.0
例3.(2023春·河北唐山·高一校考阶段练习)设集合,,,若全集,则下列结论正确的是()
A.
B.
C.
D.
变式1.(2023·高一课时练习)下列命题正确的是(????)
A.实数集与复数集的交集是空集
B.任何两个复数都不能比较大小
C.任何复数的平方均非负
D.虚数集与实数集的并集为复数集
题型二:复数的分类
【方法技巧与总结】
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
(3)下结论:设所给复数为,
①z为实数?.
②z为虚数?.
③z为纯虚数?且.
例4.(2023春·天津·高一校联考期末)已知复数,其中,是虚数单位,若为纯虚数,则的值为(????)
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