2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第一册） 3.2.2 双曲线的简单几何性质（精讲）（教师版含解析）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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3.2.2双曲线的简单几何性质(精讲)

思维导图

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常见考法

常见考法

考点一双曲线的离心率或渐近线

【例1】(1)(2021·北京牛栏山一中高二期中)双曲线的渐近线方程是______________；离心率是________.

(2)(2021·全国高二课时练习)已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为()

A． B．2 C．或2 D．

【答案】(1)(2)A

【解析】(1)因为双曲线的标准方程为，所以，

所以，所以渐近线方程为；

离心率.

故答案为：；.

(2)依题意，双曲线的渐近线方程为，因两条渐近线的夹角为，

于是得直线的倾斜角是或，即或，解得或，而，则，又，则有，所以双曲线的离心率.故选：A

【一隅三反】

1．(2021·富宁县第一中学高二月考(文))若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为()

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵渐近线为，即，∴，∴.∴，∴.

故选：D

2．(2021·山西晋中·(理))过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为()

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，因为直线经过右焦点且与渐近线垂直，

所以直线的方程为，

由可得，

由可得，

因为，所以，即

即，因为，

所以，解得，

故选：B.

3．(2021·全国高二课时练习)设，分别是双曲线的左、右焦点，过点，且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则双曲线的离心率为()

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，则，

又，则，即．

所以=

又的面积为，所以，即，

故双曲线的离心率为．

故选:D．

考点二直线与双曲线的位置关系

【例2】(1)．(2021·全国高二课时练习)等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a0)没有公共点，则a的取值范围是()

A．a＝1 B．0a1

C．a1 D．a≥1

(2)．(2021·河北邢台·高二开学考试)已知双曲线和直线至多只有一个公共点，则实数的取值范围是()

A． B．

C． D．{-1，1}

【答案】(1)D(2)C

【解析】(1)等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，

且双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a0)没有公共点，.故选：D

(2)将双曲线和直线的方程联立，消去得：

∴当双曲线和直线至多只有一个公共点时，关于的方程有一个实数解或两个相等的实数解)或无解.

∴当，即时，双曲线和直线只有一个公共点；

当且即或时，双曲线和直线至多只有一个公共点.∴实数的取值范围是故选：C

【一隅三反】

1．(2021·江苏高二期末)直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有()个

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】联立，消去并整理得，

由于直线与双曲线有且只有一个公共点，

所以，或，

解得或，

对于方程，判别式为，方程有两个不等的实数解.

显然不满足方程.

综上所述，的取值有个.

故选：D.

2．(2021·陕西高二期末(理))如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有()

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

【答案】D

【解析】由，得，

若，即，

时，，方程组只有一解；时，，方程组只有一解；

时，，，此时方程组也只有一解．

方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条．

故选：D．

3．(2021·浙江宁波·高二期末)在直线与双曲线位置关系中，“公共点只有一个”是“直线与双曲线相切”的()

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】当“直线与双曲线有且只有一个公共点”成立时有可能是直线与双曲线的渐近线平行，

此时，“直线与双曲线相切”不成立

反之，“直线与双曲线相切”成立，一定能推出“直线与双曲线有且只有一个公共点”

所以“直线与双曲线有且只有一个公共点”是“直线与双曲线相切”的必要不充分条件

故选：．

4．(2021·湖北黄石二中高二期末)已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是()

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】联立直线方程和双曲线方程，化为，

因为直线与双曲线的右支交于不同两点，

所以，且，，

解得，

所以实数的取值范围为，

故选：D

考点三弦