第四章频率响应-Nyquist稳定判据20110331.ppt

映射定理4.8.2Nyquist稳定判据开环传递函数含有虚轴上的零、极点Nyquist稳定性判据应用(不要求）例2某反馈系统的开环传递函数为Nyquist稳定性判据应用（不要求）例2某反馈系统的开环传递函数为*4.8Nyquist稳定性判据4.8.1映射定理设W(s)是复变量s的一个单值解析函数。它在复平面上某一闭曲线C的内部共有p个极点和z个零点。且闭曲线C不通过W(s)的任一极点和零点，当s循顺时针方向沿闭曲线连续地变化一周时，函数W(s)所取的值也随之连续地变化而在复平面上描出一个闭曲线C’（曲线C的映射）。可以证明，从原点指向动点W(s)的向量顺时针方向旋转的周数n等于z-p.0ReImS平面0ReImW(s)平面CC’n0?（顺时针）n0?（逆时针）n=0?（不包围）闭环传递函数为为了保证系统稳定，特征方程的全部根，都必须位于左半s平面。虽然开环传递函数的极点和零点可能位于右半s平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半s平面，则系统是稳定的。设一个反馈控制系统的开环传递函数为构造函数W(s)的分子P(s)+N(s)正好是闭环系统的特征多项式，分母正好是开环传递函数的分母。先假设W(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线?s包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为Nyquist路径或“D形围线”。如下图所示。它可分为三部分：假设D形线不通过W(s)的任一极点或零点，则s按顺时针方向沿D形线连续变化一周，根据映射定理，函数W(s)描出的闭曲线顺时针方向包围原点的周数就是n=W(s)的分子多项式P(s)+N(s)在右半平面的零点数-分母P(s)在右半平面的零点数=闭环系统在右半平面的极点数-开环传递函数在右半平面的极点数因为闭环系统稳定的充分必要条件是闭环系统在右半平面的极点数=0，所以z=0,则n=-p=-(开环传递函数在右半平面的极点数）。当s循顺时针方向沿D形线连续地变化一周时，函数1+Q(s)描出的闭曲线应当逆时针方向包围原点p周。p是开环传递函数在右半平面的极点数目。1、1+Q(s)包围原点的周数就等于函数Q(s)包围-1点的周数。2、若Q(s)在右半s平面无极点（n=0)，则闭环系统稳定的充要条件是Q(s)的图象不包围复平面的-1点。Nyquist稳定判据如下：如果系统的开环传递函数Q(s)在右半s平面有p个极点，则闭环系统稳定的充要条件是：当w从负无穷大连续地变到正无穷大时，开环函数Q(s))逆时针方向包围复平面上的-1点p圈。注意：1、一般在Q(s)中，分母阶数比分子阶数高，所以当s=?ej?时，Q(s)?0，(映射为原点)。因此实际中，只需要考虑s=jw沿虚轴变化的这一部分。2、Q(jw)和Q(-jw)是关于实轴对称的。3、当Q(s)的极点位于D形线上，采用广义D形围线。在这些开环传递函数极点的右侧画一个无限小的半圆绕过去。修改后的D形围线被称为：“广义D形围线”。措施：在虚轴上的零极点处设计一个无穷小的半圆，绕过该点。例如：本例中变量s沿着虚轴由-j?到-j0-，从-j0-到j0+(沿着半径为?的半圆，?1),再沿着正虚轴从j0+到j?。要求判断闭环系统的稳定性。要求判断闭环系统的稳定性。解：Q(s)再D形围线上s=0处有极点，应采用广义D形围线。CA+j?+j?-j?-j?ImRe?B?DEFs=-j?ImReB’A’C’s=+j?0-1?＝+??＝-?K＝20s=-j?ImReB’A’C’s=+j?0-1?＝+??＝-?例：传递函数程序3：num=[091.89];den=[11.290];nquist(num,den)Title(‘NyquistplotofG(s)=9(s^2+0.2s+1)/[s(s^2+1.2s+9)]’)用Matlab作Nyquist图（不要求）最小相位系统和非最小相位系统最小相位传递函数：在s右半平面内既无极点也无零点的传递函数；反之，在s右半平面内有极点和（或）零点的传递函数，称为非最小相位传递函数。最小相位系统：具有最小相位传递函数的系统；反之，具有非最小相位传递函数的系统，称非最小相位系统。¨????????最小相位系统临界稳定时G(jw)曲线过(-1,j0)点，该点：-110j临界稳定的特点*