中考数学二轮复习重难点与压轴题型专项突破训练专题12 新定义型几何图形综合问题（重点突围）(教师版) .doc

专题12新定义型几何图形综合问题

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TOC\o1-3\h\u【直击中考】 1

【考向一与三角形有关的新定义型问题】 1

【考向二与四角形有关的新定义型问题】 11

【考向三三角形与圆综合的新定义型问题】 23

【考向四四角形与圆综合的新定义型问题】 31

【直击中考】

【考向一与三角形有关的新定义型问题】

例题：（2022·江西抚州·统考一模）定义：从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点所连线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我么就把这条线段叫做这个三角形的“华丽分割线”．

例如：如图1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“华丽分割线”．

【定义感知】

(1)如图1，在SKIPIF10中，SKIPIF10，SKIPIF10AB=BD．求证：AD是SKIPIF10的“华丽分割线”．

【问题解决】

(2)①如图2，在SKIPIF10中，SKIPIF10，AD是SKIPIF10的“华丽分割线”，且SKIPIF10是等腰三角形，则SKIPIF10的度数是________；

②如图3，在SKIPIF10中，AB=2，AC=SKIPIF10，AD是SKIPIF10的“华丽分割线”，且SKIPIF10是以AD为底边的等腰三角形，求华丽分割线AD的长．

【答案】(1)见解析

(2)①21°或者42°；②AD=SKIPIF10

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出角的度数，进而利用相似三角形的判定解答即可；

（2）①分两种情况讨论，利用三角形内角和解答即可；

②根据相似三角形的性质解答即可．

【详解】（1）证明：∵AB=AD，

∴△ABD是等腰三角形，

∵∠B=40°，

∴∠ADB=SKIPIF10=70°，

∴∠ADC=180°-∠BDA=110°=∠BAC，

又∵∠C=∠C，

∴△ADC∽△BAC，

∴AD是△ABC的“华丽分割线”．

（2）①当AB＝BD时，得∠ADB＝67°，

∴∠ADC＝180°?∠ADB＝113°．

∵△ADC∽△BAC，

∴∠BAC＝∠ADC＝113°．

在△ABC中，由内角和定理得∠C＝21°；

当AD＝BD时，

∴∠ADC＝92°，

∵△ADC∽△BAC，

∴∠BAC＝∠ADC＝92°，

在△ABC中，由内角和定理得∠C＝42°；

综上分析可知，∠C的度数为21°或42°；

故答案为：21°或42°；

②∵AD是SKIPIF10的“华丽分割线”，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，

∴△ADC∽△BAC，

∴SKIPIF10，

即SKIPIF10，解得：CD=1，

∴SKIPIF10，

即SKIPIF10，解得：SKIPIF10．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质解答．

【变式训练】

1．（2022·山东济宁·三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（SKIPIF10）．如图?，在SKIPIF10中，AB=AC，顶角SKIPIF10的正对记作SKIPIF10，这时SKIPIF10，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解答下列问题：

(1)SKIPIF10___________，SKIPIF10___________；

(2)如图，已知SKIPIF10，其中SKIPIF10为锐角，试求SKIPIF10的值．

【答案】(1)SKIPIF10，SKIPIF10；

(2)SKIPIF10．

【分析】（1）根据