全国中考数学平行四边形的综合中考模拟和真题汇总附答案解析(2).pdf

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1145°ECFABCD

．操作与证明：如图，把一个含角的直角三角板和一个正方形摆放在一

CEFCBCD

起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点、分别在正方形的边、上，

AFAFMEFNMDMN

连接．取中点，的中点，连接、．

1AE△AEF

（）连接，求证：是等腰三角形；

猜想与发现：

21MDMN

（）在（）的条件下，请判断、的数量关系和位置关系，得出结论．

1DMMN

结论：、的数量关系是；

2DMMN

结论：、的位置关系是；

拓展与探究：

321ECFC180°

（）如图，将图中的直角三角板绕点顺时针旋转，其他条件不变，则

2

（）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

123.

【答案】（）证明参见解析；（）相等，垂直；（）成立，理由参见解析

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的知识证明出CE=CF，继而证明出

△ABE≌△ADF，得到AE=AF，从而证明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关

系是相等，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半和三角形中位线定理即可得出结论.位置

关系是垂直，利用三角形外角性质和等腰三角形两个底角相等性质，及全等三角形对应角

相等即可得出结论；（3）成立，连接AE，交MD于点G，标记出各个角，首先证明出

MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等证出AE=AF，而DM=AF，从而得到DM，MN数量相

等的结论，再利用三角形外角性质和三角形全等，等腰三角形性质以及角角之间的数量关

系得到∠DMN=∠DGE=90°．从而得到DM、MN的位置关系是垂直.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF

是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，

∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的数量关系是相等，

DM、MN的位置关系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，∴AF=2DM，∵MN

是△AEF的中位线，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，

AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，

∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的

两个结论还成立，连接AE，交MD于点G，∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又

∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵点M为AF的

中点，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同

理可证：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，

∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所

以（2）中的两个结论还成立.

1.2.