直线的参数方程圆锥曲线的参数方程及其应用等高中数学.docx

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用

一.教学内容：

直线的参数方程，圆锥曲线的参数方程及其应用，极坐标系，曲线的极坐标方程及其应用。

［基本知识点］

直线的参数方程

1标准形式：

过点M0(x0,y0),且倾角为?的直线的参数方程的标准形式为:

??x?x0?tcos?(t为参数)

?

y?y ?tsin?

? 0

2一般形式

?x?x0?at(t为参数且a2?b2?1)

?0?y?y ?bt

?

0

参数t的几何意义及其应用标准形式：

??x?x0?tcos?(t为参数)中,t的几何意义是表示定点M

?

y?y ?tsin??0

(x0

,y0)

? 0

到直线上动点M(x,y)的有向线段M0M的数量

即M0M?t,故:

12 121直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t,t

12 12

2定点M是弦M、M

的中点?t+t=0

0 1 2

1 2

t ?t1?t2

3设弦M，M

中点为M；则点M相应的参数M 2

1 2

圆锥曲线的参数方程

?x?rcos?

1

圆x2?y2?r2的参数方程为?y?rsin?(?为参数)

??其中?的几何意义动半径x对轴于正方向的旋转角

?

?

椭圆x2?y2?1

?x?acos?(?为参数,其几何意义为离心

2

角）。

a2 b2

的参数方程为?y?bsin?

3

?x?asec?(?为参数)

双曲线的参数方程为

双曲线的参数方程为?y? ?btg

4抛物线y2=2px的参数方程为

??y?2pt??x?2

??y?2pt

?

极坐标系的基本概念。

在平面内任取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任一点M，用?表示线段OM的长度，?表示从Ox到OM的角度，?叫做M的极径，?叫做点M的极角，有序数对（?，?）就叫做点M的极坐标系，这样建立的坐标叫做极坐标系。

极坐标与直角坐标的互化

1互化条件：

极点与直角坐标系原点重合；极轴与直角坐标系Ox轴重合；两坐标系中的长度单位统一。

2互化公式

?x??cos?

(1)?

?x2?y2??2

?(2)?

?

?y??sin?

?tg??

?

y(x?0)x

曲线的极坐标方程

1定义：在极坐标系中，曲线可以用含有?、?这两个变数的方程来表示，这种方程叫做曲线的极坐标方程。

2直线与圆的极坐标方程。

过极点的直线方程?=?（??R）

0

过点A（a,0），倾角为?的直线方程

?sin(???)?asin?

以极点为圆心，半径为r的圆的方程?=r

圆心在C（a,0），半径为a的圆的方程?=2acos?

圆心在（?，?），半径为r的圆的方程

0 0

0 0 0?2?2?? cos(???)??2?r

0 0 0

【例题选讲】例1

过双曲线x2?y2?1的右焦点F作倾角为45的直线l与双曲线交于A,B两点

9 16

，M是AB的中点，求|MF|。

解：方法一

依题意a=3,b=4,c=5

所以F(5，0)，又直线l的倾斜角为45度所以k=1

?l的方程为y?x?5

联立x2?y2?1和y?x?5

9 16

得:7x2?90x?369?0

?x ?x1?x2??45

M

yM?xM

2 7

?5??80

7

?|MF|?

60 2

7

解法2：依题意l的参数方程为：

?x?5?2t

? 2 x2 y2

?

2?y? t

2

代入 ? ?1

9 16

?? 2

得7t2?160 2t?512?0

?|MF|?|t1?t2|?80 2

2 7

小结：

方法二：用参数方程求解，且灵活运用参数t的几何意义，使求解过程变得简洁，同学们可以多尝试。

例2

??x?m?2cos?

?在直角坐标系中,椭圆??y? 3sin?

?

(m为常数，?是参数)，和抛物线

??x?

?

?

3?t2

2 (t为参数)

??y? 6t 有交点，试求m的取值范围。解：解法1 化椭圆方程为普通方程。

3(x?m)2?4y2?12?0 (1)

抛