2024年数学一轮-第03讲 等比数列及其前n项和（九大题型）（讲义）（原卷版）.docx

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第03讲等比数列及其前n项和

目录

考点要求

考题统计

考情分析

（1）理解等比数列的概念．

（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．

（3）了解等比数列与指数函数的关系．

2023年甲卷（理）第5题，5分

2023年II卷第8题，5分

2023年乙卷（理）第15题，5分

高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．

知识点一．等比数列的有关概念

（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．

（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．

即是与的等比中项?，，成等比数列?．

知识点二．等比数列的有关公式

（1）等比数列的通项公式

设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．

推广形式：

（2）等比数列的前n项和公式

等比数列的公比为，其前项和为

注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．

②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．

③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．

知识点三．等比数列的性质

（1）等比中项的推广．

若时，则，特别地，当时，．

（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．

②设与为等比数列，则也为等比数列．

（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．

当或时，为递增数列；

当或时，为递减数列．

（4）其他衍生等比数列．

若已知等比数列，公比为，前项和为，则：

①等间距抽取

为等比数列，公比为．

②等长度截取

为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．

【解题方法总结】

（1）若，则．

（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．

（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为

等比数列，公比为．

（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．

（5）为等比数列，若，则成等比数列．

（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．

（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间

项的平方．

（8）若为正项等比数列，则为等差数列．

（9）若为等差数列，则为等比数列．

（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．

题型一：等比数列的基本运算

例1．（2023·北京·高三汇文中学校考阶段练习）在等比数列中，，，则等于（????）

A．9 B．72 C．9或70 D．9或

例2．（2023·全国·高三专题练习）已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（????）

A．2 B．4 C．6 D．8

例3．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，则（????）

A． B． C． D．

变式1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在等比数列中，若，，则公比q应为（????）

A． B． C． D．－2

变式2．（2023·全国·高三专题练习）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（????）

A． B． C．15 D．40

变式3．（2023·全国·高三对口高考）已知数列是等比数列，，则该数列的以及依次为（????）

A．682， B．， C．682，或 D．，或

变式4．（2023·江西抚州·统考模拟预测）已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（????）

A．64 B．81 C．128 D．192

变式5．（2023·江西·校联考模拟预测）已知等比数列的前4项和为，，则（????）

A． B． C．1 D．2

【解题方法总结】

等比数列基本量运算的解题策略

（1）等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量，，，，，

一般可以“知三求二”，通过列方程（组）便可迎刃而解．

（2）等比数列的前项和公式涉及对公比的分类讨论：

当时，；当时，．

题型二：等比数列的判定与证明

例4．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．

(1)试用，表示，．

(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．

例5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，，其中为的前n项和．证明：