概率论基础分析和总结.docx

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第1章概率论基础

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝本章将复习与总结概率论的基本知识

也扩充一些新知识点，比如：

利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，

随机变量的条件数学期望

特征函数

瑞利与莱斯分布

随机变量的基本实验方法

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

概率公理与随机变量

多维随机变量与条件随机变量

随机变量的函数

数字特征与条件数学期望12

特征函数

典型分布

随机变量的仿真与实验

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概率公理与随机变量 此句作为后面每页ppt的标题

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝随机试验（RandomExperiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。

样本空间（Samplespace）：随机试验所有的基本可能结果构成的集合称?。?的元素为样本点（Samplepoint）。

事件（Event）是试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是?的子集。各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为事件域F。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值，

称为概率（Probability）。

“可能性的度量值”是“宏观”意义下（即大数量的情形下）的比例值，由相对频率（Relativefrequency）来计算，

P?A??

试验中A出现的次数?nA

（n很大）

总试验次数 n

? ?＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝概率公理：任何事件

? ?

（1） 非负性：任取事件A，P A?0

（2） 归一性：P???=1

（3） 可加性：若事件A,B互斥，即，A?B??，则，P?A?B?=P?A??P?B?

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件概率的基本性质：

（1） P???=0

（2） 0?P?A??1

（3） P?A??P?B?，如果A?B

（4） P?AB??P?A??P?A?B?

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝条件事件：BA?事件A发生条件下的事件B

条件概率（Conditionalprobability），

? ?，P?BA??P?AB

? ?

，

P A

P?A??0

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件A与B独立（Independent）等价地定义为

P?AB??P?A?P?B?

多个事件A,A

,?,A

彼此独立，

1?2

n ? ? ? ? ? ? ?

??P AA

?

?

k k

1 2

A ?P A P A P A

k k k k

m 1 2 m

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件的最基本运算：

（参见教材）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

例1.1分析掷均匀硬币问题。

解： H?正面，T?反面。因此，

（1） 样本空间：???H,T?

（2） 事件域： F???H?,?T?,?,??

（3） 由硬币的均匀特性可得，

P?H??P?T??0.5；而且P????0，P????1。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

例1.2一列N个格子，将一只小球随机放入其中任一格子。求：（1）小球放入第k号格子的概率?（2）前k个

格子中有小球的概率？

解：因为是等概的，显然，

P?小球放入任一格子 ??1

N

又各个格子是互斥的，于是，

P?小球放入任意k个格子??k

N

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝几个基本公式

链式法则：

P?AA?A

??P?A?P?A A?P?A AA??

1 2 n

P?A

1 2

AA?A

1? 3 1 2

n 1 2

n?1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝完备事件组或分割：

?A?i?1,2, ,n?，满足：

?

i

1）?i?j，AA??；

i j

2）?n

i?1

A??；

i

全概率公式：任取事件B，

P?B???nP?BA?P?A?

i i

i?1

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

贝叶斯（Bayes）公式：任取事件B，

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P?A?P?BA

P?A?P?BA?

k k

?n

P?