高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析).docVIP

圆锥曲线与最值问题

【知识点分析】

方法一、圆锥曲线的的定义转化法

借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．

（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）

（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）

（3）抛物线：到定点与定直线距离相等。

【相似题练习】

1．已知抛物线y2＝8x，点Q是圆C：x2+y2+2x﹣8y+13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x＝﹣2的距离为d，则|PQ|+d的最小值为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

1．已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2），则△PFM周长最小值为．

【知识点分析】

方法二、函数法

二次函数顶点坐标为

【相似题练习】

1．已知F1，F2为椭圆C：+＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，1?2的最大值、最小值分别为（）

A．9，7 B．8，7 C．9，8 D．17，8

【知识点分析】

方法三、利用最短路径

【最短路径十二个基本问题】

【问题1】“将军饮马”

作法

图形

原理

在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．

作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．

两点之间线段最短．

PA+PB最小值为AB＇．

【问题2】

作法

图形

原理

在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．

分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．

两点之间线段最短．

PM+MN+PN的最小值为

线段P＇P＇＇的长．

【问题3】

作法

图形

原理

在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．

分别作点Q、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．

两点之间线段最短．

四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．

【问题4】

作法

图形

原理

在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小．

作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．

点到直线，垂线段最短．

PA+AB的最小值为线段P＇B的长．

【问题5】

作法

图形

原理

A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小．

作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．

两点之间线段最短．

AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．

【相似题练习】

1．已知双曲线x2﹣y2＝1的右焦点为F，右顶点A，P为渐近线上一点，则|PA|+|PF|的最小值为（）

A． B． C．2 D．

【知识点分析】

方法四、利用圆的性质

【相似题练习】

1．已知椭圆，圆A：x2+y2﹣3x﹣y+2＝0，P，Q分別为椭圆C和圆A上的点，F（﹣2，0），则|PQ|+|PF|的最小值为（）

A． B． C． D．

【知识点分析】

方法五、切线法

【相似题练习】

1．如图，设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，上顶点为A，点B，F2关于F1对称，且AB⊥AF2

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）已知P是过A，B，F2三点的圆上的点，若△AF1F2的面积为，求点P到直线l：x﹣y﹣3＝0距离的最大值．

【知识点分析】

方法六、参数法

1．圆的参数方程可表示为.

2.椭圆的参数方程可表示为.

3．抛物线的参数方程可表示为.

【相似题练习】

已知点A（2，1），点B为椭圆+y2＝1上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标．

【知识点分析】

方法七、基本不等式

1、均值不等式定理：若，，则，

2、常用的基本不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；

=3\*GB3③；=4\*GB3④．

【相似题练习】

抛物线y2＝4x的焦点为F，点A、B在抛物线上，且∠AFB＝，弦AB的中点M在准线l上的射影为M′，则的最大值为．

【知识点分析】

方法七、利用三角形的三边关系

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

【相似题练习】

1．已知点F为双曲线E：（a＞0，b＞0）的右焦点，若在双曲线E的右支上存在点P，使得PF中点到原点的距离等于点P到点F的距离，则双曲线E的离心率的取值范围是（）

A．（1，3） B．（1，3] C．（1，] D．[，3]

【知识点分析】

方法九、利用三角恒等变换

辅助角公式：

令，

∴

其中θ为辅助角，，

【相似题练习】

1．已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠FAB＝α∈，则此椭圆离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

【相似题练习】

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