第06讲 圆的基本性质-2021-2022学年九年级数学期中期末考试满分全攻略(人教版)原卷版.pdf

第06讲圆的基本性质考点定位精讲讲练

1.圆的认识

（1）圆的定义

定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形

成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记

作“⊙O”，读作“圆O”．

定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．

（2）与圆有关的概念

弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．

连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆

弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．

2.垂径定理

（1）垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

3.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心

距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何

代数解的数学思想方法一定要掌握．

4.弧、弦、圆心角的关系

（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中

的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的

弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，

即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．

5.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者

缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基

本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰

三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”

﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理

时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆

周角和圆心角．

考点一:圆的认识

【例题1】（2020秋•宜州区期末）下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一

条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆；正确的有()

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例题2】（2020秋•武安市期末）如图，是圆O弦的是()

A．线段ABB．线段ACC．线段AED．线段DE

【例题3】（2020秋•雨花区月考）对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是()

A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理

B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与

直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理

C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理

D．将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理

考点二：垂径定理及应用

【例