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Ⅰ授课题目
第一讲概率的定义及性质
§1.0 概率论研究的对象
§1.1 随机试验
§1.2 样本空间、随机事件
§1.3 频率与概率,概率的性质
教学目的与要求
1、理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念
2、理解样本空间、样本点的概念,会用集合表示样本空间和事件
3、掌握事件的基本关系与运算
4、掌握概率的性质Ⅲ教学重点与难点
重点:事件的基本关系与运算,概率的性质难点:用集合表示样本空间和事件
Ⅳ讲授内容:
§1.0 概率论研究的对象
— 两类现象---确定现象与不确定现象
先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象.例1水在一个大气压力下,加热到100℃就沸腾.例2向上抛掷一个五分硬币,往下掉.
例3太阳从东方升起.
例4一个大气压力下,20℃的水结冰.
例1,例2,例3是必然发生的,而例4是必然不发生的.
个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类现象先看下面实例.
例5 用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中.
例6 在相同的条件下,抛一枚质地均匀的硬币,其结果可能是正面(我们常把有币值的一面称作正面)朝上,也可能是反面朝上.
例7 次品率为50%的产品,任取一个可能是正品,也可能是次品.例8 次品率为1%的产品,任取一个可能是正品,也可能是正品.
例5~例8这类现象归纳起来可以看作在相同条件下一系列的试验或观察,而每次试验或观察的可能结果不止一个,在每次试验或观察之前无法预知确切结果,即呈现出不确定性(即这些现象的结果事先不能完全确定),这一类型现象我们称之为不确定性现象或偶然现象,也称之为随机现象.
二 统计规律性、概率论研究的对象
对于不确定性现象,人们经过长时期的观察或实践的结果表明,这些现象并非是杂乱无章的,而是有规律可寻的.例如,大量重复抛一枚硬币,得正面朝上的次数与正面
朝下的次数大致都是抛掷总次数的一半.在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有规律性,就是我们以后所说的统计规律性.而概率论正是研究这种随机(偶然)现象,寻找他们的内在的统计规律性的一门数学学科.
概率论是数理统计的基础,由于随机现象的普遍性,使得概率与数理统计具有及其广泛的应用.另一方面,广泛的应用也促进概率论有了极大的发展.
§1.1 随机试验
对随机现象进行的试验或观察称为随机试验,简称试验,它具有下列特性(征):
试验可以在相同条件下重复进行;
试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现哪一个结果.
随机实验记为E.
例1 E1:投掷一枚硬币,观察正反面朝上的情况.
它有两种可能的结果就是“正面朝上”或“反面朝上”,投掷之前不能预言哪一个结果出现,且这个试验可以在相同的条件下重复进行,所以E1是一个随机试验。
例2 E2:掷一颗骰子,观察出现的点数。
它有6种可能的结果就是“出现1点”,“出现2点”???,“出现6点”。但在投掷之前不能预言哪一个结果出现,且这个试验可以在相同的条件下重复进行,所以E2是一个随机试验。
例3E3:在一批灯泡中任意抽取一只,测试他的寿命。
我们知道灯泡的寿命(以小时计)t≥0,但在测试之前不能确定它的寿命有多长,这一试验也可以在相同的条件下重复进行,所以E3是一个随机试验。
§1.2 样本空间、随机事件
对随机试验我们感兴趣的是试验结果。随机试验E的每一个可能的结果,称之为基本事件,它是不能再分的最简单的事件。因为随机试验的所有结果是明确的,从而所有的基本事件也是明确的,我们把随机试验E的所有基本事件所组成的集合
(全体)叫做试验E的样本空间,通常用字母Ω表示,Ω中的点,即基本事件。有时也称做样本点,常用ω表示。
例4 试验E2:投掷一枚硬币。
“正面朝上”和“反面朝上”是E1的基本事件,所以样本空间Ω={正,
反}。
例5 试验E2:掷一颗骰子。
令i表示“出现i点”。(i=1,2,???,6),是E2的基本事件,所以样本
空间Ω={1,2,???,8}。
例6 试验E3:测试灯泡寿命。
令t表示“测得灯泡寿命为t小时”,则0≤t<+∞是E3的基本事件,所以Ω={t|0≤t<+∞}.
例7 一个盒子中有十个相同的球,但5个是白色的,另外5个是黑色的,
搅匀后从中任意摸取一球。
令ω1={取得白球},ω2={取得黑球},则Ω={ω1,ω2}。例8 试验E4:将一硬币抛掷两次。
则Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}。其中
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