概率与数理统计.docx

??第三部分数理统计（—35分）

?

?

i1 n 1 n

i

常用统计量：样本均值X?n

X 、样本方差 S2

i

?n?1 (X

?X)2

xi?1?? x??i?1

正态总体下统计量的分布（1）U

n

nnx2? S2~x2(n?1)

n

n

? ? ~N(0,1) （2）T? S ~t(n?1)

（3） ?2

钜估计和最大似然估计 ??1

x???,6?

设总体?的密度函数为?(x)?

?6??

? ?，已知样本的均值?=2.5,求的矩法估计值?

?? 0 x??,6

已知?~?(x)???x??1 x??0,1?，试求?的矩法估计量和最大似然估计。

?

?

解：似然函数

0

L(?

其他

,?，?

n;?)?

n

??n

??

?

????1 ??x

1

, ,x

n

1

?1 ?x

??i?1

?~?(x)?? e?

x?0 ?

已知 ?? ，试求

的最大似然估计。

?? 0 其他

估计的无偏性与有效性

设总体的均值为?,方差为?2，X，X

1

，X，是样本，证明下列两个估计量都是无

2 3

偏估计量，并判断哪个是较有效的估计量：??

?1(X?X

?X),??

?1X

?2X

?1X

置信区间（只要就?的置信区间）

1 3 1 2

3 2 6 1 6 2 2 3

已知 ?~N(?,?2),样本（x,x

1 2

,. x

n

),求?的置信区间。

?/ n（1）?已知，构造U? x?

?/ n

~N(0,1),(2)?未知，构造T?x??

~t(n?1)

S/ n例：设某零件的高度?~N(?,?2),现任取20只，x?32.3,S?

S/ n

?已知，求?的0.95置信区间；(2)?未知，求?的0.95置信区间

解 ： （ 1 ）

??0.4，构造U?

x??

~N(0,1),查表得P（U）?1.96)?0.95，即P（??x ?1.96）?0.95

?/ n?n?/ n

?/ n

?

n

化简得：P（x?

1.96???x?

1.96）?0.95;P(32.12???32.48)?0.95,so;?的置信区间

?n（??，?

?

n

1

）?（32.12,32.48）

2

S/ n（2）

S/ n

x??

~T(19),查表得P（T?2.093）?0.95;即P（

??xS/ n

?2.093）?0.95;化简得

S

n：P(x?

n

2.093???x?

S

n2.093)?0.95;

n

假设检验

已 知

?~N（?,?2），样本（xx,...,x),显著性水平?，检验H :???

1, 2 n O 0

x?u

0?/ n若?

0

?/ n

0S/ nx

0

S/ n

~N(0,1),P(U?u

a

)??,查表得临街值u

a

,计算实际统计量的值u

?u?u

?u?u?

接收H

0或者t

拒绝H

若?未知，构造T?

~t(n?1).P(T)?t

?

)??,查表得临界值t

?

计算实际统计量的值t?/ ? 0

设某厂生产的纽扣直径

?~N(?,?2),??5.2,现随机取一样（xx,. x

12 36

)，测得x?26.56

试在0.05的显著性水平下检验其均值是否为26？

x?26

x?26

5.2/ 36

H :??26,则x

0 i

~N(26,5.22),构造统计量 U?

~N(0,1),查表得： P（U）?1.96)?0.05

而 实 际 统 计 量 的 值

26.56?2652.6u? ?0.648?1.96,so

26.56?26

52.6

若已知条件中 ?未知，但增加 S?5，则建立假设 H

0，

：???

0 0

?26

构造统计量 T?

x?26S/ n~t(35);查表得 :P（T）?2.0322)?0.05;而实际统计量的值