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??第三部分数理统计(—35分)
?
?
i1 n 1 n
i
常用统计量:样本均值X?n
X 、样本方差 S2
i
?n?1 (X
?X)2
xi?1?? x??i?1
正态总体下统计量的分布(1)U
n
nnx2? S2~x2(n?1)
n
n
? ? ~N(0,1) (2)T? S ~t(n?1)
(3) ?2
钜估计和最大似然估计 ??1
x???,6?
设总体?的密度函数为?(x)?
?6??
? ?,已知样本的均值?=2.5,求的矩法估计值?
?? 0 x??,6
已知?~?(x)???x??1 x??0,1?,试求?的矩法估计量和最大似然估计。
?
?
解:似然函数
0
L(?
其他
,?,?
n;?)?
n
??n
??
?
????1 ??x
1
, ,x
n
1
?1 ?x
??i?1
?~?(x)?? e?
x?0 ?
已知 ?? ,试求
的最大似然估计。
?? 0 其他
估计的无偏性与有效性
设总体的均值为?,方差为?2,X,X
1
,X,是样本,证明下列两个估计量都是无
2 3
偏估计量,并判断哪个是较有效的估计量:??
?1(X?X
?X),??
?1X
?2X
?1X
置信区间(只要就?的置信区间)
1 3 1 2
3 2 6 1 6 2 2 3
已知 ?~N(?,?2),样本(x,x
1 2
,. x
n
),求?的置信区间。
?/ n(1)?已知,构造U? x?
?/ n
~N(0,1),(2)?未知,构造T?x??
~t(n?1)
S/ n例:设某零件的高度?~N(?,?2),现任取20只,x?32.3,S?
S/ n
?已知,求?的0.95置信区间;(2)?未知,求?的0.95置信区间
解 : ( 1 )
??0.4,构造U?
x??
~N(0,1),查表得P(U)?1.96)?0.95,即P(??x ?1.96)?0.95
?/ n?n?/ n
?/ n
?
n
化简得:P(x?
1.96???x?
1.96)?0.95;P(32.12???32.48)?0.95,so;?的置信区间
?n(??,?
?
n
1
)?(32.12,32.48)
2
S/ n(2)
S/ n
x??
~T(19),查表得P(T?2.093)?0.95;即P(
??xS/ n
?2.093)?0.95;化简得
S
n:P(x?
n
2.093???x?
S
n2.093)?0.95;
n
假设检验
已 知
?~N(?,?2),样本(xx,...,x),显著性水平?,检验H :???
1, 2 n O 0
x?u
0?/ n若?
0
?/ n
0S/ nx
0
S/ n
~N(0,1),P(U?u
a
)??,查表得临街值u
a
,计算实际统计量的值u
?u?u
?u?u?
接收H
0或者t
拒绝H
若?未知,构造T?
~t(n?1).P(T)?t
?
)??,查表得临界值t
?
计算实际统计量的值t?/ ? 0
设某厂生产的纽扣直径
?~N(?,?2),??5.2,现随机取一样(xx,. x
12 36
),测得x?26.56
试在0.05的显著性水平下检验其均值是否为26?
x?26
x?26
5.2/ 36
H :??26,则x
0 i
~N(26,5.22),构造统计量 U?
~N(0,1),查表得: P(U)?1.96)?0.05
而 实 际 统 计 量 的 值
26.56?2652.6u? ?0.648?1.96,so
26.56?26
52.6
若已知条件中 ?未知,但增加 S?5,则建立假设 H
0,
:???
0 0
?26
构造统计量 T?
x?26S/ n~t(35);查表得 :P(T)?2.0322)?0.05;而实际统计量的值
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