数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第二十二章.pdf

第二十二章曲面积分

第二十二章

一、证明题

一、证明题

1.:SV

证明由曲面所包围的立体的体积等于

的体积等于

V=()

1

òòxcosycoszcosrdscosacosbcpsr

a+b+其中,, 为曲面S的外法线方向

3

S

余弦. 

2.S,L,cosn,Lds=0 

若为封闭曲面为任何固定方向则òò()

S

其中n为曲面S的外法线方向. 

3. 证明公式

证明公式

=()

dxdydz1

òòòòòcosr,nds

r2

VS

SV,nS. 

其中是包围的曲面为的外法线方向

222

xyz

r=++,r=(x,y,z). 

(()()())

yz2xyzzsx2yzxyxy2z

4.: A=++,++, ++

证明场是有势场并求其势函

数. 

二、计算题

二、计算题

1.计算下列第一型曲面积分: 

(1) ()

òòxyzds

++,其中S为上半球面

为上半球面

S

2222

xyzaz0

++=³; 

(2) ()

2222

òòxydsxyz1

+,其中S为主体+££的边界曲面; 

S

1dsxyR222

(3) òò,S+=Z=0,Z=HP; 

其中为柱面被平面所截取的分

xy22

+

S

(4) òòxyzds,其中S为平面在第一卦限中的部分. 

S

2

2.计算òòzds,其中S为圆锥表面的一部分. 

S

xrcossin

ìï=jq0ra

죣

yrsinsin

S:íï=jq