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概率论与数理统计必考大题解题索引
编制:王健 审核:
题型一:古典概型:全概率公式和贝叶斯公式的应用。
【相关公式】
全概率公式:
设实验E的样本空间为S,A为E的事件,B,B,……,B
1 2 n
?为S的划分,且P(B)0,则有:
?
P?A?=P
?A|B
1
i
P(B)?P
1
?A|B
2
?P?B
2
???…?P
?A|B
n
?P(B)
n
其中有:P(B|A)?P(AB)。
P(A)
??特别地:当n=
??
P(A)?P(A|B)P(B)?P(A|B)P B.
贝叶斯公式:
设实验E的样本空间为S。A为E的事件,B,B,……,B
为S的一个划分,且P?A??0,
?P?B
?
i
1 2 n
?0(i?1,2,……,n),则有:
P(BA) P(A|B)P(B)
P(B|A)? i ? i i
i P(A) ? n
P(A|B)P(B)
特别地:
当n=2时,有:
j?1 i i
? ?P(AB) P(A|B)P(
? ?
P(B|A)
P(A) P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B)
【相关例题】
三家工厂生产同一批产品,各工厂的产量分别占总产量的40%、25%、35%,其产品的不合格率依次为0.05、0.04、和0.02。现从出厂的产品中任取一件,求:
恰好取到不合格品的概率;
若已知取到的是不合格品,它是第二家工厂生产的概率。
解:设事件 表示:“取到的产品是不合格品”;事件Ai表示:“取到的产品是第i家工厂生产的”(i?1,2,3)。
3
则?A
??,且P(A)?0,A、A、A
两两互不相容,由全概率公式得
i
i?1
i 1 2 3
(1)P(A)??3
i?1
P(A
i
)?P(A|A)
i
?40? 5 ?25? 4 ?35? 2
?37/1000
100 100 100 100 100 100
(2)由贝叶斯公式得
P(A2
|A)= P(A2)P(A|A2)
3
?P(A
j
j?1
)P(A|A)
j
?0.25?0.04?10/3737/1000
有朋友远方来访,他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为3/10、1/5、1/10、2/5,而乘火车、轮船、汽车、飞机迟到的概率分别为1/4、1/3、1/12、1/8。求:
(1)此人来迟的概率;
(2)若已知来迟了,此人乘火车来的概率。
解:设事件 表示:“此人来迟了”;事件A分别表示:“此人乘火车、轮船、汽车、飞
i
机来”(i?1,2,3,4)。则?4
A??,且P(A
)?0,A、A、A、A
两两互不相容
i
i?1
i 1 2 3 4
由全概率公式得
P(A)??4P(A)?P(A|A)
i
i?1
?3?1
i
?1?1?1
?1?
2?1?1
10 4 5 3 10 12 5 8 5
由贝叶斯公式得
3?1
P(A)P(A|A)
P(AA| )= 1 1
?10 4?3
1 ?4
j?1
P(A
j
)P(A|A)
j
1/5 8
题型二:1、求概率密度、分布函数;2、正态分布
1、求概率密度
【相关公式】已知分布函数求概率密度在连续点求导;已知概率密度f(x)求分布函数抓住公
式:?
??f(x)dx?1,且对于任意实数,有:P{x?X?x}?F(x)?F(x)??
?? 1 2 2 1
x
2f(x)dx。
x
1
【相关例题】
设随机变量X的分布函数为:
0,x?1
FX(X)= lnx,1?x?e
1,x?e
① 求P(X?2)、P(0?X?3)、P(2?X?5)
2
② 求概率密度f(x).
x
解:
(1)P(X?2)?P(X?2)?ln2
P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1
X X
5 5 5
P(2?X? )?F( )?F(2)?ln
(2)dF
dx X
2 X 2 X 4
(X)?1
x
1,1?x?ex
?f(x)?
x
0,其他
(2)f(x)? A (???x???),是确定常
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