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模型三蝴蝶模型(任意四边形模型)
)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”:
①S:5=S:S或者SXS=SXS
i43i324
②AO:0C=(S+S)(S+S3)
24
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关
系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
1()ABCDACBDAOB1
【例】小数报竞赛活动试题如图,某公园的外轮廓是四边形被对角线分成四个部分,△面积为
平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD勺面积为3平方千米,公园由陆地面积是
692
.平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
根据蝴蝶定理求得S=31十2=1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是1+2+3+1.5=7.5平
【分析】AOD
方千米,所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米
如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
【巩固】
求:⑴三角形BGC的面积;⑵AG:GC=?
【解析】=23=6
⑴根据蝴蝶定理,SBGCM咒,那么SBGC;
⑵根据蝴蝶定理,AG:GC=(1+2):(3+6)=1:3.(???)
2ABCDACBD0()ABDBCD
【例】四边形的对角线与交于点如图所示。如果三角形的面积等于三角形的
1AO=2DO=3CODO
面积的,且,,那么的长度是的长度的倍。
3
【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:⑴利用已
知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SABD:S
BCD=1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边
的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于
HCGBDG
,垂直于,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老
师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一:•••AO:OC=S©BD:S週DC=1:3,
•••OC=2x3=6,
•••OC:OD=6:3=2:1
.
解法二:作AH丄BD于H,CG丄BD于G.
1
S圧BD=~S应CD,
3
…AH=—CG,
3
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