《概率论与数理统计》教案 第23课 估计量的评价标准.docx

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课题

估计量的评价标准

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解估计量的评价标准——无偏性、有效性、一致性

（2）能够在实际问题中合理选择评价标准

素质目标：

（1）帮助学生掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系

（2）培养学生的辩证唯物主义观

教学重难点

教学重点：估计量的评价标准——无偏性、有效性、一致性

教学难点：在实际问题中合理选择评价标准

教学方法

讲练结合法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解估计量评价标准的相关知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

互动导入

【教师】提出问题：

如何判断估计量的好坏？

【学生】思考、讨论

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解估计量评价标准的相关知识

由上节可知，对于总体X的同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，而且即使用相同的方法也可能得到不同的估计量．也就是说，同一参数可能有多种不同的估计量．原则上来说，任何统计量都可以作为未知参数的估计量．那么到底采用哪个估计量较好呢？确定估计量好坏必须在大量观察的基础上从统计的意义来评价，即估计量的好坏取决于估计量的统计性质．

设总体未知参数的估计量为，很自然地，我们认为一个“好”的估计量应该由无偏性、有效性、一致性的标准来衡量．下面就这三条性质分别予以介绍．

一、无偏性

与被估计参数的真值越近越好．由于是随机变量，它有一定的波动性，因此只能在统计的意义上要求的平均值离的真值越近越好，最好是能满足所有加权和为零，即没有系统误差，公式为，这就是无偏性的要求．为此，引入了如下无偏性的概念：

【教师】提出无偏性的概念

定义1设是未知参数的估计量．若

，（7-3）

则称是的无偏估计量．

称为估计量的系统误差．有系统误差的估计称为有偏估计．因此，无偏估计的实际意义就是无系统误差．显然，样本均值、样本方差分别是总体均值、总体方差的无偏估计．

【教师】通过例题，介绍无偏估计量的求法

例1设来自有有限数学期望和方差的总体．证明：

（1）是总体均值的无偏估计量；

（2）是总体方差的无偏估计量．

……（证明详见教材）

二、有效性

围绕的真值波动幅度越小越好．下面我们将会看到，同一个参数满足无偏性要求的估计值往往也不止一个．无偏性只对估计量波动的平均值提出了要求，但是对波动的“振幅”（即估计量的方差）没有提出进一步的要求．当然，我们希望估计量方差尽可能小．这就是无偏估计量的有效性要求．为此，引入了如下有效性的概念：

【教师】提出有效性的概念

定义2设和均是未知参数的无偏估计量．若

，（7-4）

则称比有效．

由有效性的定义容易看出，在的无偏估计量中，方差越小者越有效．

【教师】通过例题，介绍利用有效性评价估计量的方法

例2设来自具有有限数学期望和方差的总体，，，皆为的估计量，试问：以下哪个估计量较好？

（1）； （2）； （3）．

……（解析详见教材）

三、一致性

当样本容量越来越大时，靠近真值的可能性也应该越来越大，最好是当样本容量趋于无穷时，在概率的意义上收敛于的真值．这就是一致性的要求．为此，引入了如下一致性的概念：

【教师】提出一致性的概念

定义3设是未知参数的估计量．若对，有

（7-5）

恒成立，则称是的一致估计量．

估计量的一致性是对于极限性质而言的，它只在样本容量较大时才起作用．

【教师】通过例题，介绍一致估计量的求法

例3证明：样本均值是总体均值的一致估计量．

……（证明详见教材）

【学生】聆听、思考、理解、记忆

拓展训练

【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题

设来自具有有限数学期望和方差的总体，，，皆为的估计量，试问：以下哪个估计量较好？

（1）； （2）；

【学生】聆听、思考、讨论、解题

【教师】公布正确答案，讲解解题步骤

【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧

课堂小结

【教师】简要总结本节课的要点

无偏性

有效性

一致性

【学生】总结回顾知识点

作业布置

【教师】布置课后作业

（1）完成教材中的习题7-2；

（2）登录APP或其他学习平台查看相关知识链接。

【学生】完成课后任务

教学反思