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线性代数第五章向量空间向量空间概述向量的线性组合与向量的表示向量空间的基与维数子空间与商空间向量空间的同构目录CONTENTS01向量空间概述0102向量空间的定义向量空间中的向量可以用有序数对、矩阵等来表示，它们的加法和标量乘法按照一定的规则进行。向量空间是一个非空集合，其中包含向量，满足加法和标量乘法具有封闭性、结合性、单位元存在和逆元存在等性质。向量空间具有加法的可交换性、可结合性和有单位元。向量空间中的标量乘法满足结合性、单位元存在和逆元存在等性质。向量空间中的零元素是唯一的，并且每个向量都有唯一的负元素。向量空间的性质实数域上的全体二维行向量构成的集合是一个向量空间。实数域上的全体三维列向量构成的集合是一个向量空间。复数域上的全体二维列向量构成的集合是一个向量空间。向量空间的例子02向量的线性组合与向量的表示向量线性组合的定义01设有向量$mathbf{a},mathbf{b},mathbf{c}inV$，若存在标量$k_1,k_2$，使得$mathbf{a}=k_1mathbf{b}+k_2mathbf{c}$，则称$mathbf{a}$是$mathbf{b}$和$mathbf{c}$的线性组合。线性组合的性质02线性组合满足交换律、结合律和分配律。线性组合的应用03在解析几何中，线性组合常用于表示平面或空间中的点、线、面等几何对象。向量的线性组合向量线性表示的定义：如果存在标量$k_1,k_2,...,k_n$和向量$\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,...,\mathbf{b}_n$，使得$\mathbf{a}=k_1\mathbf{b}_1+k_2\mathbf{b}_2+...+k_n\mathbf{b}_n$，则称$\mathbf{a}$能被向量$\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,...,\mathbf{b}_n$线性表示。向量的线性表示线性表示满足交换律、结合律和分配律。线性表示的性质在解析几何中，线性表示常用于表示点、线、面等几何对象之间的关系。线性表示的应用向量的线性表示010203向量的坐标表示的定义在二维或三维空间中，给定向量$mathbf{a}$和一组基向量$mathbf{e}_1,mathbf{e}_2,...,mathbf{e}_n$，若存在实数$x_1,x_2,...,x_n$使得$mathbf{a}=x_1mathbf{e}_1+x_2mathbf{e}_2+...+x_nmathbf{e}_n$，则称$x_1,x_2,...,x_n$为向量$mathbf{a}$的坐标。坐标表示的性质坐标表示具有唯一性，即一个向量的坐标表示是唯一的。坐标表示的应用在解析几何中，坐标表示常用于计算向量的长度、角度等几何量，以及解决与向量有关的几何问题。向量的坐标表示03向量空间的基与维数一个向量空间V的一组向量称为基，如果它们线性无关且可以生成整个空间。定义基的个数基的选择一个n维向量空间有n个线性无关的向量作为基。不同的基对应着不同的坐标系，但同一组向量在不同坐标系下的坐标是相互关联的。030201向量空间的基向量空间的维数定义向量空间的基的个数称为该空间的维数。性质一个向量空间的维数与其所包含的向量的个数无关，只与基的个数有关。计算给定一组线性无关的向量，可以通过增加或减少向量的个数来改变维数。定义当一个向量空间的基发生变化时，该空间中的向量坐标也会随之发生变化，这种变化称为坐标变换。性质坐标变换具有可逆性，即可以通过逆变换将新坐标系下的坐标转换回原坐标系下的坐标。计算坐标变换可以通过矩阵乘法实现，具体地，对于一个向量v在新旧基下的坐标分别为(v1,v2,...,vn)和(v1,v2,...,vn)，则有vi=∑j=1n(aij)vi，其中aij是基变换矩阵的元素。基变换与坐标变换04子空间与商空间子空间是向量空间的一个非空子集，满足向量的加法和标量乘法封闭性。子空间可以由零向量构成，也可以是向量空间的真子集。子空间可以由有限个向量生成，也可以是无限维的。子空间的基底是该子空间的一组线性无关的向量，可以用来表示该子空间中的任意向量。01020304子空间