数值分析5-计算方法.pptVIP

数值分析5-计算方法目录CONTENTS引言插值法数值积分与微分线性方程组的直接解法非线性方程求根常微分方程的数值解法01引言数值分析的目的研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法，为科学与工程计算提供高效、可靠的算法。数值分析的意义在理论方面，对数值计算方法及其理论的深入研究，促进了数学学科的发展；在应用方面，数值计算方法为众多科学领域提供了有效的计算工具，推动了科学技术的发展。数值分析的目的和意义早期发展阶段以手工计算为主，主要解决简单的数学问题。机械化计算阶段随着计算工具的发展，出现了机械式计算器，可以进行较为复杂的数学运算。电子计算机时代电子计算机的出现极大地推动了数值计算的发展，使得大规模、高精度的数值计算成为可能。计算方法的发展历程0302010102插值法与逼近法研究如何通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点处取值与已知数据相符，并且在其他点处的取值也能较好地逼近已知数据。数值微分与数值积分研究如何用数值方法近似计算函数的导数和定积分。线性方程组的直接解法与…研究如何求解线性方程组，包括直接解法和迭代解法两大类。非线性方程求根研究如何求解非线性方程的根，包括二分法、迭代法等。常微分方程的数值解法研究如何用数值方法求解常微分方程，包括欧拉法、龙格-库塔法等。030405本次课程的主要内容02插值法插值函数通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点处取值与已知数据点相同。插值节点已知数据点，即需要插值的点。插值多项式通过插值节点构造的多项式函数，用于近似表示未知函数。插值法的基本概念拉格朗日插值拉格朗日基函数：以插值节点为根的拉格朗日多项式，具有在对应节点处取值为1，其他节点处取值为0的性质。拉格朗日插值多项式：利用拉格朗日基函数线性组合构造的插值多项式。拉格朗日插值的优点：构造简单，易于实现。01020304差商牛顿基函数牛顿插值多项式牛顿插值的优点牛顿插值函数值之间的差分与自变量差分的比值，反映了函数局部变化趋势。通过差商递推构造的基函数，具有逐次生成、易于计算的特点。便于增加新节点，易于实现分段插值。利用牛顿基函数线性组合构造的插值多项式。插值误差误差界龙格现象避免龙格现象的方法插值法的误差分析对插值误差进行估计，给出误差的上界或下界。插值函数与被插函数在插值节点之间的误差。采用分段低次插值、样条插值等方法，降低多项式次数，提高插值精度。高阶插值多项式在区间端点附近出现剧烈震荡的现象，导致误差增大。03数值积分与微分用数值方法求解定积分的近似值。数值积分的定义在实际问题中，很多函数无法用解析方法求出其原函数，或者原函数表达式过于复杂，难以计算。此时，数值积分成为求解定积分的有效手段。数值积分的意义主要包括截断误差和舍入误差。截断误差是由于采用近似算法而产生的误差，舍入误差是由于计算机浮点数运算而产生的误差。数值积分的误差来源数值积分的基本概念牛顿-柯特斯公式的定义一种基于插值多项式的数值积分方法，通过构造插值多项式来近似被积函数，并利用插值多项式的定积分来近似原函数的定积分。牛顿-柯特斯公式的种类包括矩形法、梯形法、辛普森法等，它们的精度和计算量各不相同，适用于不同的问题。牛顿-柯特斯公式的误差分析对于光滑的被积函数，当插值节点足够多时，牛顿-柯特斯公式具有高阶精度。然而，对于某些特殊函数（如高振荡函数），牛顿-柯特斯公式可能失效。010203牛顿-柯特斯公式高斯积分公式对于光滑的被积函数，高斯积分公式具有指数收敛速度。然而，高斯积分公式需要预先确定节点和权值，且计算量相对较大。高斯积分公式的误差分析一种具有最高代数精度的数值积分方法，通过选取特定的节点和权值，使得对于不超过某个次数的多项式，高斯积分公式能够精确成立。高斯积分公式的定义包括高斯-勒让德公式、高斯-切比雪夫公式等，它们分别适用于不同的权函数和积分区间。高斯积分公式的种类数值微分的定义用数值方法求解函数导数的近似值。数值微分的种类包括差分法、插值法、样条法等，它们的精度和计算量各不相同，适用于不同的问题。数值微分的误差分析对于光滑的函数，当步长足够小时，数值微分方法具有高阶精度。然而，对于某些特殊函数（如含有噪声的数据），数值微分方法可能受到较大影响。在实际应用中，需要根据问题的特点和要求选择合适的数值微分方法。数值微分的方法04线性方程组的直接解法高斯消元法的步骤首先进行消元过程，将系数矩阵化为上三角矩阵；然后进行回代过程，从上三角矩阵中解出未知数。高斯消元法的适用范围适用于系数矩阵非奇异且主对角