勾股定理难题(二)竞赛题-2.docVIP

勾股定理难题(二)竞赛题-2

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勾股定理（二）

定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍

例1、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是10cm2，则其中最大的正方形的边长为______cm．

例2、如图所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．

证：因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE的公共边，所以

Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，

所以AF=AB．①

在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以

AG=FG，

AF2=AG2+FG2=2FG2．②

由①，②得：AB2=2FG2．

例3、如图所示．AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．

证：过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，

AB2=AM2+BM2+2BM·MD．①

在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD．②

①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2)．③

如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式．

推论△ABC的中线长公式：

由①，②4(AM2+BN2)=5AB2．

例6、由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：

AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．

例7、如图所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它的逆定理是否成立？证明你的结论．

例8、如图所示．从锐角三角形ABC的顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：

BC2=AB·BF+AC·CE．

例9、已知，在Rt△ABC中，BC=AC,P为△ABC内一点,且PA=3,PC=2,求∠BPC的度数。

例10、如图，在△ABC中，∠ACB=,CDAB于D,设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，

求证：（1）；（2）以a+b、h、c+h为边的三角形是直角三角形。

例11、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，MN垂直平分AB，求证：CM=2BM．

例12、在Rt△ABC中，∠C=90°，若a，b，c为连续整数(abc)，求a+b+c的值。

例13、已知：正方形ABCD的边长为1，正方形EFGH内接于ABCD，AE＝a，AF＝b,且SEFGH＝，求：的值

例14、已知：如图，△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=90°，若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长。

例15、如图，四边形ABCD中，AD=3,AB=4,BC=12,CD=13,∠BAD=900,

(1)求证：BDBC;（2）计算四边形ABCD的面积。

课后巩固

1、在由单位正方形组成的网格图中标出了AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是()

A．CD，EF，GHB．AB，CD，EFC．AB，CD，GHD．AB，EF，GH

2、若一直角三角形两边