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信号与系统常用变换与知识点

连续时间

离散时间

傅里叶级数FS

傅里叶变换FT

傅里叶级数FS

傅里叶变换FT

时域

x

连续时间，在时间上是

周期的

x

连续时间，在时间上是

非周期的

x

离散时间，在时间上是

周期的

x

离散时间，在时间上是

非周期的

频域

a

离散频率，在频率上是

非周期的

X

连续频率，在频率上是

非周期的

a

离散频率，在频率上是

周期的

X

连续频率，在频率上是

周期的

xtFSa

周期为T，基本频率ω

xtFT

若：xnFSa

周期为N，基本频率ω

xnyn

线性

性质

Ax

Ax

FT

Ax

Ax

FT

时移

性质

x

x

x

x

频移

性质

e

e

对称

X

时间

反转

x

x

x

x

时域

变换

x

x

x

FS

x

FT

相乘

x

x

x

x

卷积

周期卷积：

T

x

周期卷积：

r

x

时域

微分

dx

dx

x

x

频域

微分

tx

nx

积分

-∞

（-∞txtdt

-∞

FT

k

k

FT

共轭

对称

x

若xt为实函数，

x

x

x

三

τ

Sa

π

双边拉普拉斯变换与Z变换性质

拉普拉斯变换

Z变换

逆变换

x

x

变换

X

X

性质

信号

变换

收敛域ROC

信号

变换

收敛域ROC

x

x

x

X

X

X

R

R

R

x

x

x

X

X

X

R

R

R

线性

a

aX

至少R

ax

aX

至少R

时移

x

e

R

x

z

R(除了可能增加或去除原点或∞点)

S域平移(z域尺度变换

e

X

R的平移，即若s-s0在R

e

X

R

z

X

z

a

X

R的比例伸缩，即在aR=在R中z的这些a

时域尺度变换

x

1

R/a，即若s/a在R

x

X

R

x

X

R

共轭

x

X

R

x

X

R

卷积

x

X

至少R

x

X

至少R

时域微分

dx

sX

至少R

x

1-

至少R

S域微分

-

dX

R

nx

-

R

时域积分

-∞

X

至少R

k

1

至少R

初值及终值定理

若t0,xt=0且在t=

x

lim

仅有初值定理：若n0时x

x

基本函数的（双边）拉普拉斯变换和（双边）z变换

拉普拉斯变换

z变换

信号

变换

收敛域

信号

变换

收敛域

δ

1

全部s

δ

1

全部z

u

1

Re

u

1

z

-

1

Re

-

1

z

t

1

Re

a

1

z

-

1

Re

-

1

z

e

1

Re

n

a

z

-

1

Re

-

a

z

t

1

Re

-

1

Re

δ

e

全部s

δ

z

全部z，除去0（若m＞0），或∞（若m＜0）

cos

s

Re

cos

1-

z

sin

ω

Re

sin

sin

z

e

s

Re

r

1-

z

e

ω

Re

r

r

z

u

s

全部s

u

1

Re

拉普拉斯变换与z变换的收敛域、因果性、稳定性

收敛域ROC：对于s来说，使得xte-σt

因果性：如果一个系统在任何时刻的输出只取决于现在的输入及过去的输入，该系统称因果系统。

稳定性：若输入是有界的，则系统的输出也必须是有界的(输出不能发散)。

性质

拉普拉斯变换

z变换

性质1

Xs的收敛域是在s平面内由平行于jω轴的带状区域组成

Xz的收敛域是在z平面内以原点为中心的圆环

性质2

对有理拉普拉斯变换来说，收敛域不包括任何极点。（因为在极点处，Xs为无限大，显然不收敛

收敛域内不包含任何极点。(因为在极点处，Xz为无限大

性质3

如果xt是有限持续期，并且是绝对可积的，那么收敛域就是整个s平面。（xt有限可积，又因为e-σt为一固定常数，

如果xn是有限长序列，那么收敛域就是整个z平面可能除去z=0和/

性质4

如果xt是右边信号，并且Res=σ0这条线位于收敛域内，那么Resσ0的全部s值都一定在收敛域内。

如果xn是一个右边序列，并且z=r0的圆位于收敛域内，那么zr0的全部有限z值都一定在这个收敛域内。

性质5

如果xt是左边信号，并且Res=σ0这条线位于收敛域内，那么Resσ0的全部s值都一定在收敛域内。

如果xn是一个左边序列，并且z=r0的圆位于收敛域内，那么满足0zr0的全部z值都一定在这个收敛域内

性质6

如果xt是双边信号，并且Res=σ0这条线位于收敛域内，那么收敛域一定由s平面的一条带状区域组成，直线Res=σ0位于带中。

如果xn是双边序列，并且z=r0的圆位于收敛域内，那么该收敛域在z域中一定是包含z=r0这一圆环的环状区域。（把x

性质7

如果xt的拉普拉斯变换Xs是有理的，那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远。另外，在收敛域内不包含X

如果xn的z变换Xz是有理的，那么它的收敛域就被极点所界定，

性质8

如果xt的拉普拉斯变换Xs是有理的，那么若xt是右边信号，则其收敛域在s平面上位于最右边极点的右边；若xt是左边信号，

如果xn的z变换Xz