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三星和多星模型问题
1.三星模型:
(1)如图1所示,三颗质量相等的行星,一颗行星位于中心位置不动,另外两颗行星围绕它做圆周运动.这三颗行星始终位于同一直线上,中心行星受力平衡,运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力:eq\f(Gm2,r2)+eq\f(Gm2,(2r)2)=ma向.两行星运行的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等.
(2)如图2所示,三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处,都绕三角形的中心做圆周运动.每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供,即eq\f(Gm2,L2)×2×cos30°=ma向,其中L=2rcos30°.三颗行星运行的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等.
2.四星模型:
①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示).
②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示).
3.(1)记忆口诀:N星系统周期同,受力源自其他星;几何关系找半径,第二定律列方程.
(2)思维导图
【题型1】在宇宙中,单独存在的恒星占少数,更多的是双星、三星甚至多星系统。如图所示为一个简化的直线三星系统模型:三个星球的质量均为m,a、b两个星球绕处于二者中心的星球c做半径为r的匀速圆周运动。已知引力常量为G,忽略其他星体对他们的引力作用,则下列说法正确的是()
A.星球a做匀速圆周运动的加速度大小为
B.星球a做匀速圆周运动的线速度大小为
C.星球b做匀速圆周运动的周期为
D.若因某种原因中心星球c的质量缓慢减小,则星球a、b的线速度均将缓慢增大
【题型2】宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统,其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为L,忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G,下列说法正确的是()
A.每颗星做圆周运动的角速度为eq\r(\f(Gm,L3))
B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关
C.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍,则周期变为原来的2倍
D.若距离L和每颗星的质量m都变为原来的2倍,则线速度变为原来的4倍
【题型3】进行科学研究有时需要大胆的想象,假设宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统(忽略其他星体对它们的引力作用),这四颗星恰好位于正方形的四个顶点上,并沿外接于正方形的圆形轨道运行,若此正方形边长变为原来的一半,要使此系统依然稳定存在,星体的角速度应变为原来的()
A.1倍B.2倍C.eq\f(1,2)倍D.2eq\r(2)倍
【题型4】(多选)太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设这三个星体的质量均为M,并设两种系统的运动周期相同,则()
A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B.直线三星系统的运动周期T=4πReq\r(\f(R,5GM))
C.三角形三星系统中星体间的距离L=eq\r(3,\f(12,5))R
D.三角形三星系统的线速度大小为eq\f(1,2)eq\r(\f(5GM,R))
针对训练
1.(多选)如图所示,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行,若三颗星质量均为M,万有引力常量为G,则()
A.甲星所受合外力为eq\f(5GM2,4R2)B.乙星所受合外力为eq\f(5GM2,4R2)
C.甲星和丙星的线速度相同D.甲星和丙星的角速度相同
2.(多选)如图所示,天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动.已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确的是()
A.三颗星的质量可能不相等B.某颗星的质量为eq\f(4π2l3,3GT2)
C.它们的线速度大小均为eq\f(2\r(3)πl,T)D.它们两两之间的万有引力大小为eq\f(16π4l4,9GT4)
3.(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其
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