江西省赣州市2024届高三下学期年3月摸底考试数学试题（原卷版）.docx

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赣州市2024年高三年级摸底考试

数学试卷

2024年3月

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟

第I卷（选择题共58分）

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知为虚数单位.，则（）

A.1 B. C.2 D.4

3.在中，，则（）

A. B. C. D.

4.在棱长为1的正方体中，为棱的中点，过且平行于平面的平面截正方体所得截面面积为（）

A B. C. D.

5.在平行四边形中，，则（）

A.16 B.14 C.12 D.10

6.若一组样本数据方差为，则样本数据的方差为（）

A.1 B.2 C.2.5 D.

7.已知，则（）

A. B.

C. D.

8.在边长为4的正方体中，点是的中点，点是侧面内的动点（含四条边），且，则的轨迹长度为（）

A. B. C. D.

二?多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.已知等比数列的前项和为，则（）

A. B.

C.数列为单调数列 D.数列为单调数列

10.已知函数，则（）

A.是的一个周期

B.的图象关于原点对称

C.的图象过点

D.为上的单调函数

11.曲线是平面内与两个定点的距离的积等于的点的轨迹，给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（）

A.曲线关于坐标轴对称；

B.周长的最小值为；

C.点到轴距离的最大值为

D.点到原点距离最小值为.

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.求值：__________.

13.展开式中的常数项为__________.

14.已知是抛物线上异于顶点的点，在处的切线分别交轴?轴于点，过作的垂线分别交轴?轴于点，分别记与的面积为，则的最小值为__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面为侧棱的中点.

（1）求点到平面的距离；

（2）求二面角的正切值.

16.某人准备应聘甲?乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为，该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中，技能测试是否通过相互独立.

（1）若.求该应聘者应聘乙公司三项专业技能测试恰好通过两项的概率；

（2）已知甲?乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，应聘者以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，若该应聘者更有可能通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.

17.己知椭圆过点，椭圆右焦点与点所在直线的斜率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过的直线与椭圆交于两点.点.直线分别交椭圆于点，直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

18已知函数.

（1）求的单调区间，

（2）已如.若函数有唯一的零点.证明，.

19.设数列.如果对小于的每个正整数都有.则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合，的元素个数记为.

（1）对数列，写出的所有元素；

（2）数列满足，若.求数列的种数.

（3）证明：若数列满足，则.