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各类不等式的解法

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各类不等式的解法

一、不等式的基本性质

不等式的基本性质有：

(1)对称性或反身性：abba；

(2)传递性：若ab，bc，则ac；

(3)可加性：aba+cb+c，此法则又称为移项法则；

(4)可乘性：ab，当c0时，acbc；当c0时，acbc。

不等式运算性质：

(1)同向相加：若ab，cd，则a+cb+d；

(2)正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd。

特例：(3)乘方法则：若ab0，n∈N+，则；

(4)开方法则：若ab0，n∈N+，则；

(5)倒数法则：若ab0，ab，则。

例1：1)、的大小关系为.

2）、设,且则与的大小关系是.

3）已知满足,试求的取值范围.

例2.比较与的大小。

例3.解关于x的不等式。

二、一元二次不等式的解法

一元二次不等式或的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。

1.分式不等式解法

2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）

典型例题

例1解下列不等式

（1）eq\f(x－3,x＋7)＜0（2）3＋eq\f(2,x)＜0（3）eq\f(4,x－3)＞eq\f(2－x,3－x)－3（4）eq\f(3,x)＞1

例2解下列不等式：

（1）(x+1)(x-1)(x-2)0（2）（-x-1)(x-1)(x-2)0

x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0（4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)0

（5）（6）．

（7）（8）

四、无理不等式的解法

解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换

题型Ⅰ：

例1解不等式⑴⑵

题型Ⅱ：

例2解不等式

题型Ⅲ：

例3解不等式

例4解不等式

例5解不等式

五、绝对值不等式的解法

含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推.

（1）含有一个绝对值：

不等式的解集是;

不等式的解集是

不等式的解集为;

不等式的解集为

（2）含有多个绝对值：零点分段法

例1解不等式（1）.（2）（3）

（4）1|2x-1|5.（5）|4x-3|2x+1

例2解不等式：（1）|x-3|-|x+1|1.（2）|x|－|2x＋1||＞1．

例3已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|．

（I）证明：-3≤f(x)≤3；

（II）求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集．

六、指数不等式与对数不等式

利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式

例1.解不等式

例2.解不等式.

例3.解不等式：

例4．时解关于x的不等式

七、基本不等式（也叫均值不等式）

1．基本不等式

基本不等式

不等式成立的条件

等号成立的条件

eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)

a0，b0

a＝b

2.常用的几个重要不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)(2)ab≤(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)

(3)eq\f(a2＋b2,2)≥(eq\f(a＋b,2))2(a，b∈R)(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号且不为零)

上述四个不等式等号成立的条件都是a＝b.

3．算术平均数与几何平均数

设a0，b0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值

设x，y都是正数．

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值2eq\r(P).

(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值eq\f(1,4)S2.

练习

1．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为()

A．2B．4C．8D．16

2．若a，b∈R，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是()

A．a2＋b22abB．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(2,\r(ab))D.eq